Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2211 / 6444
↖ ↑ ↗
← S 71.244356°
W 82.836914°		 ← 1 571.17 m → S 71.244356°
W 82.792969°		 →
↑
1 570.58 m
↓
↑
1 570.58 m
↓
S 71.258480°
W 82.836914°		 ← 1 570.03 m →
2 466 747 m²		 S 71.258480°
W 82.792969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26995849609375 y=0.78668212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26995849609375 × 213)
    floor (0.26995849609375 × 8192)
    floor (2211.5)     		tx = 2211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78668212890625 × 213)
    floor (0.78668212890625 × 8192)
    floor (6444.5)     		ty = 6444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2211 / 6444 ti = "13/2211/6444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2211/6444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2211 ÷ 213
    2211 ÷ 8192     		x = 0.2698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6444 ÷ 213
    6444 ÷ 8192     		y = 0.78662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44577689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78662109375 × 2 - 1) × π
    -0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44577689} λ = -1.44577689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80089344492627))-π/2
    2×atan(0.165151268723353)-π/2
    2×0.16367387482318-π/2
    0.32734774964636-1.57079632675     		φ = -1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44577689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.836914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2211 KachelY 6444 -1.44577689 -1.24344858 -82.836914 -71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 2212 KachelY 6444 -1.44500990 -1.24344858 -82.792969 -71.244356
    Unten links KachelX 2211 KachelY + 1 6445 -1.44577689 -1.24369510 -82.836914 -71.258480
    Unten rechts KachelX + 1 2212 KachelY + 1 6445 -1.44500990 -1.24369510 -82.792969 -71.258480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24344858--1.24369510) × R
    0.000246520000000139 × 6371000     		dl = 1570.57892000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24344858--1.24369510) × R
    0.000246520000000139 × 6371000     		dr = 1570.57892000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44577689--1.44500990) × cos(-1.24344858) × R
    0.000766990000000023 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 1571.16761448229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44577689--1.44500990) × cos(-1.24369510) × R
    0.000766990000000023 × 0.321299308591804 × 6371000     		du = 1570.02691551554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24344858)-sin(-1.24369510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.321299308591804)×R²
    abs(-1.44500990--1.44577689)×0.00023343917591967×R²
    0.000766990000000023×0.00023343917591967×6371000²
    0.000766990000000023×0.00023343917591967×40589641000000     		ar = 2466746.96870935m²