Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 221 / 286
↖ ↑ ↗
← N 78.134493°
W141.152344°		 ← 4 018.96 m → N 78.134493°
W140.976562°		 →
↑
4 025.01 m
↓
↑
4 025.01 m
↓
N 78.098296°
W141.152344°		 ← 4 031.04 m →
16 200 659 m²		 N 78.098296°
W140.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108154296875 y=0.139892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108154296875 × 211)
    floor (0.108154296875 × 2048)
    floor (221.5)     		tx = 221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139892578125 × 211)
    floor (0.139892578125 × 2048)
    floor (286.5)     		ty = 286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 221 / 286 ti = "11/221/286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/221/286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 221 ÷ 211
    221 ÷ 2048     		x = 0.10791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 286 ÷ 211
    286 ÷ 2048     		y = 0.1396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10791015625 × 2 - 1) × π
    -0.7841796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46357315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1396484375 × 2 - 1) × π
    0.720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26415564285449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46357315} λ = -2.46357315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26415564285449))-π/2
    2×atan(9.6229959244701)-π/2
    2×1.46725024610046-π/2
    2.93450049220092-1.57079632675     		φ = 1.36370417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46357315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36370417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.134493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 221 KachelY 286 -2.46357315 1.36370417 -141.152344 78.134493
    Oben rechts KachelX + 1 222 KachelY 286 -2.46050518 1.36370417 -140.976562 78.134493
    Unten links KachelX 221 KachelY + 1 287 -2.46357315 1.36307240 -141.152344 78.098296
    Unten rechts KachelX + 1 222 KachelY + 1 287 -2.46050518 1.36307240 -140.976562 78.098296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36370417-1.36307240) × R
    0.000631770000000031 × 6371000     		dl = 4025.0066700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36370417-1.36307240) × R
    0.000631770000000031 × 6371000     		dr = 4025.0066700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46357315--2.46050518) × cos(1.36370417) × R
    0.00306797000000003 × 0.205615061983061 × 6371000     		do = 4018.95958254828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46357315--2.46050518) × cos(1.36307240) × R
    0.00306797000000003 × 0.206233291845377 × 6371000     		du = 4031.04352623125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36370417)-sin(1.36307240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205615061983061-0.206233291845377)×R²
    abs(-2.46050518--2.46357315)×0.000618229862316216×R²
    0.00306797000000003×0.000618229862316216×6371000²
    0.00306797000000003×0.000618229862316216×40589641000000     		ar = 16200658.6420323m²