Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 221 / 117
↖ ↑ ↗
← N 69.411243°
W 24.609375°		 ← 27.494 km → N 69.411243°
W 23.906250°		 →
↑
27.652 km
↓
↑
27.652 km
↓
N 69.162558°
W 24.609375°		 ← 27.811 km →
764.668 km²		 N 69.162558°
W 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4326171875 y=0.2294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4326171875 × 29)
    floor (0.4326171875 × 512)
    floor (221.5)     		tx = 221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2294921875 × 29)
    floor (0.2294921875 × 512)
    floor (117.5)     		ty = 117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 221 / 117 ti = "9/221/117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/221/117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 221 ÷ 29
    221 ÷ 512     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117 ÷ 29
    117 ÷ 512     		y = 0.228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228515625 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70578663608008))-π/2
    2×atan(5.50571495823276)-π/2
    2×1.39112552190334-π/2
    2.78225104380667-1.57079632675     		φ = 1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 221 KachelY 117 -0.42951462 1.21145472 -24.609375 69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 222 KachelY 117 -0.41724277 1.21145472 -23.906250 69.411243
    Unten links KachelX 221 KachelY + 1 118 -0.42951462 1.20711435 -24.609375 69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 222 KachelY + 1 118 -0.41724277 1.20711435 -23.906250 69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21145472-1.20711435) × R
    0.0043403700000002 × 6371000     		dl = 27652.4972700013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21145472-1.20711435) × R
    0.0043403700000002 × 6371000     		dr = 27652.4972700013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.41724277) × cos(1.21145472) × R
    0.01227185 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 27494.0112873253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.41724277) × cos(1.20711435) × R
    0.01227185 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 27811.4240096184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21145472)-sin(1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.355717787996262)×R²
    abs(-0.41724277--0.42951462)×0.00405981913824049×R²
    0.01227185×0.00405981913824049×6371000²
    0.01227185×0.00405981913824049×40589641000000     		ar = 764667899.735754m²