Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2209 / 6433
↖ ↑ ↗
← S 71.088305°
W 82.924804°		 ← 1 583.76 m → S 71.088305°
W 82.880859°		 →
↑
1 583.19 m
↓
↑
1 583.19 m
↓
S 71.102543°
W 82.924804°		 ← 1 582.62 m →
2 506 495 m²		 S 71.102543°
W 82.880859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26971435546875 y=0.78533935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26971435546875 × 213)
    floor (0.26971435546875 × 8192)
    floor (2209.5)     		tx = 2209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78533935546875 × 213)
    floor (0.78533935546875 × 8192)
    floor (6433.5)     		ty = 6433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2209 / 6433 ti = "13/2209/6433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2209/6433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2209 ÷ 213
    2209 ÷ 8192     		x = 0.2696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6433 ÷ 213
    6433 ÷ 8192     		y = 0.7852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2696533203125 × 2 - 1) × π
    -0.460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44731087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79245655059314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44731087} λ = -1.44731087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79245655059314))-π/2
    2×atan(0.166550526923281)-π/2
    2×0.165035674455467-π/2
    0.330071348910935-1.57079632675     		φ = -1.24072498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44731087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.924804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24072498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.088305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2209 KachelY 6433 -1.44731087 -1.24072498 -82.924804 -71.088305
    Oben rechts KachelX + 1 2210 KachelY 6433 -1.44654388 -1.24072498 -82.880859 -71.088305
    Unten links KachelX 2209 KachelY + 1 6434 -1.44731087 -1.24097348 -82.924804 -71.102543
    Unten rechts KachelX + 1 2210 KachelY + 1 6434 -1.44654388 -1.24097348 -82.880859 -71.102543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24072498--1.24097348) × R
    0.000248500000000096 × 6371000     		dl = 1583.19350000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24072498--1.24097348) × R
    0.000248500000000096 × 6371000     		dr = 1583.19350000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44731087--1.44654388) × cos(-1.24072498) × R
    0.000766990000000023 × 0.32411052465911 × 6371000     		do = 1583.76390396517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44731087--1.44654388) × cos(-1.24097348) × R
    0.000766990000000023 × 0.323875428877662 × 6371000     		du = 1582.61511000662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24072498)-sin(-1.24097348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32411052465911-0.323875428877662)×R²
    abs(-1.44654388--1.44731087)×0.000235095781447314×R²
    0.000766990000000023×0.000235095781447314×6371000²
    0.000766990000000023×0.000235095781447314×40589641000000     		ar = 2506495.34963059m²