Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2209 / 2786
↖ ↑ ↗
← N 75.661318°
W131.462402°		 ← 605.07 m → N 75.661318°
W131.440430°		 →
↑
605.18 m
↓
↑
605.18 m
↓
N 75.655876°
W131.462402°		 ← 605.29 m →
366 245 m²		 N 75.655876°
W131.440430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134857177734375 y=0.170074462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134857177734375 × 214)
    floor (0.134857177734375 × 16384)
    floor (2209.5)     		tx = 2209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170074462890625 × 214)
    floor (0.170074462890625 × 16384)
    floor (2786.5)     		ty = 2786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2209 / 2786 ti = "14/2209/2786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2209/2786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2209 ÷ 214
    2209 ÷ 16384     		x = 0.13482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2786 ÷ 214
    2786 ÷ 16384     		y = 0.1700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.7303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29445176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1700439453125 × 2 - 1) × π
    0.659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07317503476819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29445176} λ = -2.29445176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07317503476819))-π/2
    2×atan(7.95002469354884)-π/2
    2×1.44566772321321-π/2
    2.89133544642641-1.57079632675     		φ = 1.32053912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29445176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.462402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32053912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.661318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2209 KachelY 2786 -2.29445176 1.32053912 -131.462402 75.661318
    Oben rechts KachelX + 1 2210 KachelY 2786 -2.29406827 1.32053912 -131.440430 75.661318
    Unten links KachelX 2209 KachelY + 1 2787 -2.29445176 1.32044413 -131.462402 75.655876
    Unten rechts KachelX + 1 2210 KachelY + 1 2787 -2.29406827 1.32044413 -131.440430 75.655876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32053912-1.32044413) × R
    9.4990000000017e-05 × 6371000     		dl = 605.181290000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32053912-1.32044413) × R
    9.4990000000017e-05 × 6371000     		dr = 605.181290000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29445176--2.29406827) × cos(1.32053912) × R
    0.000383489999999931 × 0.247653161926753 × 6371000     		do = 605.069868009598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29445176--2.29406827) × cos(1.32044413) × R
    0.000383489999999931 × 0.247745191752617 × 6371000     		du = 605.294716641271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32053912)-sin(1.32044413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247653161926753-0.247745191752617)×R²
    abs(-2.29406827--2.29445176)×9.20298258642871e-05×R²
    0.000383489999999931×9.20298258642871e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.20298258642871e-05×40589641000000     		ar = 366245.000630346m²