Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22084 / 14012
↖ ↑ ↗
← N 80.329352°
W119.344482°		 ← 51.30 m → N 80.329352°
W119.341736°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.328890°
W119.344482°		 ← 51.30 m →
2 631 m²		 N 80.328890°
W119.341736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.168491363525391 y=0.106906890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.168491363525391 × 217)
    floor (0.168491363525391 × 131072)
    floor (22084.5)     		tx = 22084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106906890869141 × 217)
    floor (0.106906890869141 × 131072)
    floor (14012.5)     		ty = 14012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22084 / 14012 ti = "17/22084/14012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22084/14012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22084 ÷ 217
    22084 ÷ 131072     		x = 0.168487548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14012 ÷ 217
    14012 ÷ 131072     		y = 0.106903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.168487548828125 × 2 - 1) × π
    -0.66302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.08295416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106903076171875 × 2 - 1) × π
    0.78619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46990081602377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08295416} λ = -2.08295416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46990081602377))-π/2
    2×atan(11.8212743125084)-π/2
    2×1.48640399953538-π/2
    2.97280799907076-1.57079632675     		φ = 1.40201167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08295416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.344482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40201167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.329352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22084 KachelY 14012 -2.08295416 1.40201167 -119.344482 80.329352
    Oben rechts KachelX + 1 22085 KachelY 14012 -2.08290623 1.40201167 -119.341736 80.329352
    Unten links KachelX 22084 KachelY + 1 14013 -2.08295416 1.40200362 -119.344482 80.328890
    Unten rechts KachelX + 1 22085 KachelY + 1 14013 -2.08290623 1.40200362 -119.341736 80.328890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40201167-1.40200362) × R
    8.05000000014822e-06 × 6371000     		dl = 51.2865500009443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40201167-1.40200362) × R
    8.05000000014822e-06 × 6371000     		dr = 51.2865500009443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08295416--2.08290623) × cos(1.40201167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167984400666206 × 6371000     		do = 51.2960575957974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08295416--2.08290623) × cos(1.40200362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167992336267474 × 6371000     		du = 51.29848082711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40201167)-sin(1.40200362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167984400666206-0.167992336267474)×R²
    abs(-2.08290623--2.08295416)×7.93560126857717e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.93560126857717e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.93560126857717e-06×40589641000000     		ar = 2630.85996218156m²