Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 22076 / 14003
↖ ↑ ↗
← N 80.333503°
W119.366455°		 ← 51.28 m → N 80.333503°
W119.363708°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.333042°
W119.366455°		 ← 51.29 m →
2 630 m²		 N 80.333042°
W119.363708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.168430328369141 y=0.106838226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.168430328369141 × 217)
    floor (0.168430328369141 × 131072)
    floor (22076.5)     		tx = 22076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106838226318359 × 217)
    floor (0.106838226318359 × 131072)
    floor (14003.5)     		ty = 14003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22076 / 14003 ti = "17/22076/14003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22076/14003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22076 ÷ 217
    22076 ÷ 131072     		x = 0.168426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14003 ÷ 217
    14003 ÷ 131072     		y = 0.106834411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.168426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.66314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.08333766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106834411621094 × 2 - 1) × π
    0.786331176757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.47033224812035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08333766} λ = -2.08333766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47033224812035))-π/2
    2×atan(11.826375489996)-π/2
    2×1.48644022876124-π/2
    2.97288045752247-1.57079632675     		φ = 1.40208413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08333766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40208413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.333503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22076 KachelY 14003 -2.08333766 1.40208413 -119.366455 80.333503
    Oben rechts KachelX + 1 22077 KachelY 14003 -2.08328972 1.40208413 -119.363708 80.333503
    Unten links KachelX 22076 KachelY + 1 14004 -2.08333766 1.40207608 -119.366455 80.333042
    Unten rechts KachelX + 1 22077 KachelY + 1 14004 -2.08328972 1.40207608 -119.363708 80.333042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40208413-1.40207608) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dl = 51.2865499995296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40208413-1.40207608) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dr = 51.2865499995296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08333766--2.08328972) × cos(1.40208413) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.167912969906972 × 6371000     		do = 51.2849430898761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08333766--2.08328972) × cos(1.40207608) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.167920905606208 × 6371000     		du = 51.2873668566876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40208413)-sin(1.40207608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167912969906972-0.167920905606208)×R²
    abs(-2.08328972--2.08333766)×7.93569923565607e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.93569923565607e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.93569923565607e-06×40589641000000     		ar = 2630.28995139091m²