Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2207 / 1685
↖ ↑ ↗
← N 80.571747°
W131.506347°		 ← 400.23 m → N 80.571747°
W131.484375°		 →
↑
400.29 m
↓
↑
400.29 m
↓
N 80.568147°
W131.506347°		 ← 400.38 m →
160 238 m²		 N 80.568147°
W131.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134735107421875 y=0.102874755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134735107421875 × 214)
    floor (0.134735107421875 × 16384)
    floor (2207.5)     		tx = 2207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102874755859375 × 214)
    floor (0.102874755859375 × 16384)
    floor (1685.5)     		ty = 1685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2207 / 1685 ti = "14/2207/1685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2207/1685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2207 ÷ 214
    2207 ÷ 16384     		x = 0.13470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1685 ÷ 214
    1685 ÷ 16384     		y = 0.10284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.7305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29521875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10284423828125 × 2 - 1) × π
    0.7943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49540324662164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29521875} λ = -2.29521875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49540324662164))-π/2
    2×atan(12.1266225523562)-π/2
    2×1.48851929759768-π/2
    2.97703859519536-1.57079632675     		φ = 1.40624227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29521875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.506347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40624227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.571747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2207 KachelY 1685 -2.29521875 1.40624227 -131.506347 80.571747
    Oben rechts KachelX + 1 2208 KachelY 1685 -2.29483526 1.40624227 -131.484375 80.571747
    Unten links KachelX 2207 KachelY + 1 1686 -2.29521875 1.40617944 -131.506347 80.568147
    Unten rechts KachelX + 1 2208 KachelY + 1 1686 -2.29483526 1.40617944 -131.484375 80.568147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40624227-1.40617944) × R
    6.28299999998472e-05 × 6371000     		dl = 400.289929999026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40624227-1.40617944) × R
    6.28299999998472e-05 × 6371000     		dr = 400.289929999026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29521875--2.29483526) × cos(1.40624227) × R
    0.000383489999999931 × 0.163812428110057 × 6371000     		do = 400.228947144231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29521875--2.29483526) × cos(1.40617944) × R
    0.000383489999999931 × 0.163874409047908 × 6371000     		du = 400.380379888288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40624227)-sin(1.40617944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163812428110057-0.163874409047908)×R²
    abs(-2.29483526--2.29521875)×6.19809378513969e-05×R²
    0.000383489999999931×6.19809378513969e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.19809378513969e-05×40589641000000     		ar = 160237.925790696m²