Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22061 / 47587
↖ ↑ ↗
← S 62.842612°
W 58.815308°		 ← 278.81 m → S 62.842612°
W 58.809814°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
S 62.845119°
W 58.815308°		 ← 278.79 m →
77 729 m²		 S 62.845119°
W 58.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.336631774902344 y=0.726127624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.336631774902344 × 216)
    floor (0.336631774902344 × 65536)
    floor (22061.5)     		tx = 22061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726127624511719 × 216)
    floor (0.726127624511719 × 65536)
    floor (47587.5)     		ty = 47587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22061 / 47587 ti = "16/22061/47587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22061/47587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22061 ÷ 216
    22061 ÷ 65536     		x = 0.336624145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47587 ÷ 216
    47587 ÷ 65536     		y = 0.726119995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.336624145507812 × 2 - 1) × π
    -0.326751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.02652077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726119995117188 × 2 - 1) × π
    -0.452239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42075383093922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02652077} λ = -1.02652077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42075383093922))-π/2
    2×atan(0.241531874053736)-π/2
    2×0.236992920063362-π/2
    0.473985840126723-1.57079632675     		φ = -1.09681049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02652077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.815308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09681049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.842612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22061 KachelY 47587 -1.02652077 -1.09681049 -58.815308 -62.842612
    Oben rechts KachelX + 1 22062 KachelY 47587 -1.02642489 -1.09681049 -58.809814 -62.842612
    Unten links KachelX 22061 KachelY + 1 47588 -1.02652077 -1.09685425 -58.815308 -62.845119
    Unten rechts KachelX + 1 22062 KachelY + 1 47588 -1.02642489 -1.09685425 -58.809814 -62.845119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09681049--1.09685425) × R
    4.37600000000593e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09681049--1.09685425) × R
    4.37600000000593e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02652077--1.02642489) × cos(-1.09681049) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.45643632418427 × 6371000     		do = 278.814804154184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02652077--1.02642489) × cos(-1.09685425) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.456397388021196 × 6371000     		du = 278.791019941345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09681049)-sin(-1.09685425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45643632418427-0.456397388021196)×R²
    abs(-1.02642489--1.02652077)×3.89361630735996e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.89361630735996e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.89361630735996e-05×40589641000000     		ar = 77728.8467246507m²