Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2206 / 6443
↖ ↑ ↗
← S 71.230221°
W 83.056640°		 ← 1 572.31 m → S 71.230221°
W 83.012695°		 →
↑
1 571.73 m
↓
↑
1 571.73 m
↓
S 71.244356°
W 83.056640°		 ← 1 571.17 m →
2 470 342 m²		 S 71.244356°
W 83.012695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26934814453125 y=0.78656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26934814453125 × 213)
    floor (0.26934814453125 × 8192)
    floor (2206.5)     		tx = 2206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78656005859375 × 213)
    floor (0.78656005859375 × 8192)
    floor (6443.5)     		ty = 6443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2206 / 6443 ti = "13/2206/6443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2206/6443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2206 ÷ 213
    2206 ÷ 8192     		x = 0.269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6443 ÷ 213
    6443 ÷ 8192     		y = 0.7864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.46142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44961184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80012645453235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44961184} λ = -1.44961184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80012645453235))-π/2
    2×atan(0.165277986749549)-π/2
    2×0.16379722587457-π/2
    0.327594451749139-1.57079632675     		φ = -1.24320188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44961184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.056640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24320188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.230221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2206 KachelY 6443 -1.44961184 -1.24320188 -83.056640 -71.230221
    Oben rechts KachelX + 1 2207 KachelY 6443 -1.44884485 -1.24320188 -83.012695 -71.230221
    Unten links KachelX 2206 KachelY + 1 6444 -1.44961184 -1.24344858 -83.056640 -71.244356
    Unten rechts KachelX + 1 2207 KachelY + 1 6444 -1.44884485 -1.24344858 -83.012695 -71.244356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24320188--1.24344858) × R
    0.000246699999999933 × 6371000     		dl = 1571.72569999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24320188--1.24344858) × R
    0.000246699999999933 × 6371000     		dr = 1571.72569999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44961184--1.44884485) × cos(-1.24320188) × R
    0.000766990000000023 × 0.321766337830865 × 6371000     		do = 1572.30905075844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44961184--1.44884485) × cos(-1.24344858) × R
    0.000766990000000023 × 0.321532747767724 × 6371000     		du = 1571.16761448229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24320188)-sin(-1.24344858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321766337830865-0.321532747767724)×R²
    abs(-1.44884485--1.44961184)×0.00023359006314061×R²
    0.000766990000000023×0.00023359006314061×6371000²
    0.000766990000000023×0.00023359006314061×40589641000000     		ar = 2470341.54358318m²