Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2204 / 6443
↖ ↑ ↗
← S 71.230221°
W 83.144532°		 ← 1 572.33 m → S 71.230221°
W 83.100586°		 →
↑
1 571.73 m
↓
↑
1 571.73 m
↓
S 71.244356°
W 83.144532°		 ← 1 571.19 m →
2 470 374 m²		 S 71.244356°
W 83.100586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26910400390625 y=0.78656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26910400390625 × 213)
    floor (0.26910400390625 × 8192)
    floor (2204.5)     		tx = 2204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78656005859375 × 213)
    floor (0.78656005859375 × 8192)
    floor (6443.5)     		ty = 6443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2204 / 6443 ti = "13/2204/6443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2204/6443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2204 ÷ 213
    2204 ÷ 8192     		x = 0.26904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6443 ÷ 213
    6443 ÷ 8192     		y = 0.7864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26904296875 × 2 - 1) × π
    -0.4619140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45114583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80012645453235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45114583} λ = -1.45114583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80012645453235))-π/2
    2×atan(0.165277986749549)-π/2
    2×0.16379722587457-π/2
    0.327594451749139-1.57079632675     		φ = -1.24320188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45114583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.144532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24320188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.230221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2204 KachelY 6443 -1.45114583 -1.24320188 -83.144532 -71.230221
    Oben rechts KachelX + 1 2205 KachelY 6443 -1.45037883 -1.24320188 -83.100586 -71.230221
    Unten links KachelX 2204 KachelY + 1 6444 -1.45114583 -1.24344858 -83.144532 -71.244356
    Unten rechts KachelX + 1 2205 KachelY + 1 6444 -1.45037883 -1.24344858 -83.100586 -71.244356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24320188--1.24344858) × R
    0.000246699999999933 × 6371000     		dl = 1571.72569999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24320188--1.24344858) × R
    0.000246699999999933 × 6371000     		dr = 1571.72569999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45114583--1.45037883) × cos(-1.24320188) × R
    0.000766999999999962 × 0.321766337830865 × 6371000     		do = 1572.3295504917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45114583--1.45037883) × cos(-1.24344858) × R
    0.000766999999999962 × 0.321532747767724 × 6371000     		du = 1571.18809933353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24320188)-sin(-1.24344858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321766337830865-0.321532747767724)×R²
    abs(-1.45037883--1.45114583)×0.00023359006314061×R²
    0.000766999999999962×0.00023359006314061×6371000²
    0.000766999999999962×0.00023359006314061×40589641000000     		ar = 2470373.75184572m²