Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2204 / 3244
↖ ↑ ↗
← S 71.856229°
E 13.710937°		 ← 3 043.33 m → S 71.856229°
E 13.798828°		 →
↑
3 041.13 m
↓
↑
3 041.13 m
↓
S 71.883578°
E 13.710937°		 ← 3 038.90 m →
9 248 438 m²		 S 71.883578°
E 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5382080078125 y=0.7921142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5382080078125 × 212)
    floor (0.5382080078125 × 4096)
    floor (2204.5)     		tx = 2204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7921142578125 × 212)
    floor (0.7921142578125 × 4096)
    floor (3244.5)     		ty = 3244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2204 / 3244 ti = "12/2204/3244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2204/3244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2204 ÷ 212
    2204 ÷ 4096     		x = 0.5380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3244 ÷ 212
    3244 ÷ 4096     		y = 0.7919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5380859375 × 2 - 1) × π
    0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7919921875 × 2 - 1) × π
    -0.583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.83464102225879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23930100} λ = 0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83464102225879))-π/2
    2×atan(0.159670809747979)-π/2
    2×0.158334272378104-π/2
    0.316668544756208-1.57079632675     		φ = -1.25412778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25412778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.856229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2204 KachelY 3244 0.23930100 -1.25412778 13.710937 -71.856229
    Oben rechts KachelX + 1 2205 KachelY 3244 0.24083498 -1.25412778 13.798828 -71.856229
    Unten links KachelX 2204 KachelY + 1 3245 0.23930100 -1.25460512 13.710937 -71.883578
    Unten rechts KachelX + 1 2205 KachelY + 1 3245 0.24083498 -1.25460512 13.798828 -71.883578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25412778--1.25460512) × R
    0.000477339999999993 × 6371000     		dl = 3041.13313999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25412778--1.25460512) × R
    0.000477339999999993 × 6371000     		dr = 3041.13313999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23930100-0.24083498) × cos(-1.25412778) × R
    0.00153397999999999 × 0.311402487470188 × 6371000     		do = 3043.33233102475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23930100-0.24083498) × cos(-1.25460512) × R
    0.00153397999999999 × 0.3109488462562 × 6371000     		du = 3038.8989015283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25412778)-sin(-1.25460512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311402487470188-0.3109488462562)×R²
    abs(0.24083498-0.23930100)×0.000453641213988554×R²
    0.00153397999999999×0.000453641213988554×6371000²
    0.00153397999999999×0.000453641213988554×40589641000000     		ar = 9248437.65883672m²