Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2204 / 1396
↖ ↑ ↗
← N 75.628632°
W 83.144532°		 ← 1 212.87 m → N 75.628632°
W 83.100586°		 →
↑
1 213.29 m
↓
↑
1 213.29 m
↓
N 75.617721°
W 83.144532°		 ← 1 213.77 m →
1 472 116 m²		 N 75.617721°
W 83.100586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26910400390625 y=0.17047119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26910400390625 × 213)
    floor (0.26910400390625 × 8192)
    floor (2204.5)     		tx = 2204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17047119140625 × 213)
    floor (0.17047119140625 × 8192)
    floor (1396.5)     		ty = 1396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2204 / 1396 ti = "13/2204/1396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2204/1396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2204 ÷ 213
    2204 ÷ 8192     		x = 0.26904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1396 ÷ 213
    1396 ÷ 8192     		y = 0.17041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26904296875 × 2 - 1) × π
    -0.4619140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45114583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17041015625 × 2 - 1) × π
    0.6591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07087406358643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45114583} λ = -1.45114583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07087406358643))-π/2
    2×atan(7.93175294527938)-π/2
    2×1.44538248401115-π/2
    2.8907649680223-1.57079632675     		φ = 1.31996864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45114583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.144532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31996864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.628632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2204 KachelY 1396 -1.45114583 1.31996864 -83.144532 75.628632
    Oben rechts KachelX + 1 2205 KachelY 1396 -1.45037883 1.31996864 -83.100586 75.628632
    Unten links KachelX 2204 KachelY + 1 1397 -1.45114583 1.31977820 -83.144532 75.617721
    Unten rechts KachelX + 1 2205 KachelY + 1 1397 -1.45037883 1.31977820 -83.100586 75.617721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31996864-1.31977820) × R
    0.000190439999999903 × 6371000     		dl = 1213.29323999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31996864-1.31977820) × R
    0.000190439999999903 × 6371000     		dr = 1213.29323999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45114583--1.45037883) × cos(1.31996864) × R
    0.000766999999999962 × 0.248205830435874 × 6371000     		do = 1212.87193815717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45114583--1.45037883) × cos(1.31977820) × R
    0.000766999999999962 × 0.248390306555292 × 6371000     		du = 1213.77339122985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31996864)-sin(1.31977820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248205830435874-0.248390306555292)×R²
    abs(-1.45037883--1.45114583)×0.000184476119418325×R²
    0.000766999999999962×0.000184476119418325×6371000²
    0.000766999999999962×0.000184476119418325×40589641000000     		ar = 1472116.19145825m²