Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22019 / 26119
↖ ↑ ↗
← N 34.275375°
W 59.046021°		 ← 504.77 m → N 34.275375°
W 59.040527°		 →
↑
504.77 m
↓
↑
504.77 m
↓
N 34.270836°
W 59.046021°		 ← 504.80 m →
254 802 m²		 N 34.270836°
W 59.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.335990905761719 y=0.398551940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.335990905761719 × 216)
    floor (0.335990905761719 × 65536)
    floor (22019.5)     		tx = 22019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398551940917969 × 216)
    floor (0.398551940917969 × 65536)
    floor (26119.5)     		ty = 26119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22019 / 26119 ti = "16/22019/26119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22019/26119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22019 ÷ 216
    22019 ÷ 65536     		x = 0.335983276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26119 ÷ 216
    26119 ÷ 65536     		y = 0.398544311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.335983276367188 × 2 - 1) × π
    -0.328033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.03054747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398544311523438 × 2 - 1) × π
    0.202911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.637464891147507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.03054747} λ = -1.03054747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.637464891147507))-π/2
    2×atan(1.89167918282249)-π/2
    2×1.08450723904023-π/2
    2.16901447808046-1.57079632675     		φ = 0.59821815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.03054747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -59.046021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59821815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.275375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22019 KachelY 26119 -1.03054747 0.59821815 -59.046021 34.275375
    Oben rechts KachelX + 1 22020 KachelY 26119 -1.03045159 0.59821815 -59.040527 34.275375
    Unten links KachelX 22019 KachelY + 1 26120 -1.03054747 0.59813892 -59.046021 34.270836
    Unten rechts KachelX + 1 22020 KachelY + 1 26120 -1.03045159 0.59813892 -59.040527 34.270836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59821815-0.59813892) × R
    7.92299999999857e-05 × 6371000     		dl = 504.774329999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59821815-0.59813892) × R
    7.92299999999857e-05 × 6371000     		dr = 504.774329999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.03054747--1.03045159) × cos(0.59821815) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.826340412352923 × 6371000     		do = 504.771263869262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.03054747--1.03045159) × cos(0.59813892) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.826385029793894 × 6371000     		du = 504.798518499113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59821815)-sin(0.59813892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826340412352923-0.826385029793894)×R²
    abs(-1.03045159--1.03054747)×4.46174409706179e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.46174409706179e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.46174409706179e-05×40589641000000     		ar = 254802.455374658m²