Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22019 / 26111
↖ ↑ ↗
← N 34.311681°
W 59.046021°		 ← 504.55 m → N 34.311681°
W 59.040527°		 →
↑
504.52 m
↓
↑
504.52 m
↓
N 34.307144°
W 59.046021°		 ← 504.58 m →
254 564 m²		 N 34.307144°
W 59.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.335990905761719 y=0.398429870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.335990905761719 × 216)
    floor (0.335990905761719 × 65536)
    floor (22019.5)     		tx = 22019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398429870605469 × 216)
    floor (0.398429870605469 × 65536)
    floor (26111.5)     		ty = 26111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22019 / 26111 ti = "16/22019/26111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22019/26111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22019 ÷ 216
    22019 ÷ 65536     		x = 0.335983276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26111 ÷ 216
    26111 ÷ 65536     		y = 0.398422241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.335983276367188 × 2 - 1) × π
    -0.328033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.03054747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398422241210938 × 2 - 1) × π
    0.203155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.638231881541428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.03054747} λ = -1.03054747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638231881541428))-π/2
    2×atan(1.89313063913947)-π/2
    2×1.08482406816636-π/2
    2.16964813633272-1.57079632675     		φ = 0.59885181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.03054747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -59.046021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59885181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.311681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22019 KachelY 26111 -1.03054747 0.59885181 -59.046021 34.311681
    Oben rechts KachelX + 1 22020 KachelY 26111 -1.03045159 0.59885181 -59.040527 34.311681
    Unten links KachelX 22019 KachelY + 1 26112 -1.03054747 0.59877262 -59.046021 34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 22020 KachelY + 1 26112 -1.03045159 0.59877262 -59.040527 34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59885181-0.59877262) × R
    7.91900000000068e-05 × 6371000     		dl = 504.519490000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59885181-0.59877262) × R
    7.91900000000068e-05 × 6371000     		dr = 504.519490000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.03054747--1.03045159) × cos(0.59885181) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.825983387572224 × 6371000     		do = 504.553174753576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.03054747--1.03045159) × cos(0.59877262) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 504.580440948874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59885181)-sin(0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825983387572224-0.826028023946516)×R²
    abs(-1.03045159--1.03054747)×4.46363742919731e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.46363742919731e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.46363742919731e-05×40589641000000     		ar = 254563.78870129m²