Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22018 / 26117
↖ ↑ ↗
← N 34.284453°
W 59.051514°		 ← 504.66 m → N 34.284453°
W 59.046021°		 →
↑
504.71 m
↓
↑
504.71 m
↓
N 34.279914°
W 59.051514°		 ← 504.69 m →
254 716 m²		 N 34.279914°
W 59.046021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.335975646972656 y=0.398521423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.335975646972656 × 216)
    floor (0.335975646972656 × 65536)
    floor (22018.5)     		tx = 22018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398521423339844 × 216)
    floor (0.398521423339844 × 65536)
    floor (26117.5)     		ty = 26117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22018 / 26117 ti = "16/22018/26117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22018/26117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22018 ÷ 216
    22018 ÷ 65536     		x = 0.335968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26117 ÷ 216
    26117 ÷ 65536     		y = 0.398513793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.335968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.32806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.03064334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398513793945312 × 2 - 1) × π
    0.202972412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.637656638745987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.03064334} λ = -1.03064334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.637656638745987))-π/2
    2×atan(1.89204194254093)-π/2
    2×1.08458645915719-π/2
    2.16917291831438-1.57079632675     		φ = 0.59837659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.03064334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -59.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59837659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.284453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22018 KachelY 26117 -1.03064334 0.59837659 -59.051514 34.284453
    Oben rechts KachelX + 1 22019 KachelY 26117 -1.03054747 0.59837659 -59.046021 34.284453
    Unten links KachelX 22018 KachelY + 1 26118 -1.03064334 0.59829737 -59.051514 34.279914
    Unten rechts KachelX + 1 22019 KachelY + 1 26118 -1.03054747 0.59829737 -59.046021 34.279914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59837659-0.59829737) × R
    7.92199999999355e-05 × 6371000     		dl = 504.710619999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59837659-0.59829737) × R
    7.92199999999355e-05 × 6371000     		dr = 504.710619999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.03064334--1.03054747) × cos(0.59837659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.826251173175509 × 6371000     		do = 504.664111523742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.03064334--1.03054747) × cos(0.59829737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.826295795357053 × 6371000     		du = 504.6913662065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59837659)-sin(0.59829737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826251173175509-0.826295795357053)×R²
    abs(-1.03054747--1.03064334)×4.46221815439962e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46221815439962e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46221815439962e-05×40589641000000     		ar = 254716.214615654m²