Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2201 / 2978
↖ ↑ ↗
← S 62.995159°
E 13.447266°		 ← 4 437.58 m → S 62.995159°
E 13.535156°		 →
↑
4 434.53 m
↓
↑
4 434.53 m
↓
S 63.035039°
E 13.447266°		 ← 4 431.52 m →
19 665 157 m²		 S 63.035039°
E 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5374755859375 y=0.7271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5374755859375 × 212)
    floor (0.5374755859375 × 4096)
    floor (2201.5)     		tx = 2201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7271728515625 × 212)
    floor (0.7271728515625 × 4096)
    floor (2978.5)     		ty = 2978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2201 / 2978 ti = "12/2201/2978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2201/2978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2201 ÷ 212
    2201 ÷ 4096     		x = 0.537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2978 ÷ 212
    2978 ÷ 4096     		y = 0.72705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537353515625 × 2 - 1) × π
    0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23469906} λ = 0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42660213269287))-π/2
    2×atan(0.240123445243814)-π/2
    2×0.235661699504187-π/2
    0.471323399008374-1.57079632675     		φ = -1.09947293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09947293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.995159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2201 KachelY 2978 0.23469906 -1.09947293 13.447266 -62.995159
    Oben rechts KachelX + 1 2202 KachelY 2978 0.23623304 -1.09947293 13.535156 -62.995159
    Unten links KachelX 2201 KachelY + 1 2979 0.23469906 -1.10016898 13.447266 -63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 2202 KachelY + 1 2979 0.23623304 -1.10016898 13.535156 -63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09947293--1.10016898) × R
    0.00069605000000017 × 6371000     		dl = 4434.53455000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09947293--1.10016898) × R
    0.00069605000000017 × 6371000     		dr = 4434.53455000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23469906-0.23623304) × cos(-1.09947293) × R
    0.00153398000000002 × 0.454065787061965 × 6371000     		do = 4437.57884339377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23469906-0.23623304) × cos(-1.10016898) × R
    0.00153398000000002 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 4431.5169693148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09947293)-sin(-1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454065787061965-0.453445518730545)×R²
    abs(0.23623304-0.23469906)×0.000620268331420482×R²
    0.00153398000000002×0.000620268331420482×6371000²
    0.00153398000000002×0.000620268331420482×40589641000000     		ar = 19665156.6983139m²