Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 220 / 285
↖ ↑ ↗
← N 78.170582°
W141.328125°		 ← 4 006.90 m → N 78.170582°
W141.152344°		 →
↑
4 012.90 m
↓
↑
4 012.90 m
↓
N 78.134493°
W141.328125°		 ← 4 018.95 m →
16 103 462 m²		 N 78.134493°
W141.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107666015625 y=0.139404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107666015625 × 211)
    floor (0.107666015625 × 2048)
    floor (220.5)     		tx = 220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139404296875 × 211)
    floor (0.139404296875 × 2048)
    floor (285.5)     		ty = 285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 220 / 285 ti = "11/220/285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/220/285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 220 ÷ 211
    220 ÷ 2048     		x = 0.107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 285 ÷ 211
    285 ÷ 2048     		y = 0.13916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107421875 × 2 - 1) × π
    -0.78515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46664111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13916015625 × 2 - 1) × π
    0.7216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26722360443018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46664111} λ = -2.46664111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26722360443018))-π/2
    2×atan(9.65256424024529)-π/2
    2×1.46756518262067-π/2
    2.93513036524134-1.57079632675     		φ = 1.36433404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46664111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36433404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.170582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 220 KachelY 285 -2.46664111 1.36433404 -141.328125 78.170582
    Oben rechts KachelX + 1 221 KachelY 285 -2.46357315 1.36433404 -141.152344 78.170582
    Unten links KachelX 220 KachelY + 1 286 -2.46664111 1.36370417 -141.328125 78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 221 KachelY + 1 286 -2.46357315 1.36370417 -141.152344 78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36433404-1.36370417) × R
    0.00062986999999981 × 6371000     		dl = 4012.90176999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36433404-1.36370417) × R
    0.00062986999999981 × 6371000     		dr = 4012.90176999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46664111--2.46357315) × cos(1.36433404) × R
    0.00306795999999965 × 0.204998609701595 × 6371000     		do = 4006.89732306422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46664111--2.46357315) × cos(1.36370417) × R
    0.00306795999999965 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 4018.94648281218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36433404)-sin(1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204998609701595-0.205615061983061)×R²
    abs(-2.46357315--2.46664111)×0.000616452281466062×R²
    0.00306795999999965×0.000616452281466062×6371000²
    0.00306795999999965×0.000616452281466062×40589641000000     		ar = 16103461.9395596m²