Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21996 / 13652
↖ ↑ ↗
← N 80.494044°
W119.586182°		 ← 50.44 m → N 80.494044°
W119.583435°		 →
↑
50.39 m
↓
↑
50.39 m
↓
N 80.493591°
W119.586182°		 ← 50.44 m →
2 542 m²		 N 80.493591°
W119.583435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167819976806641 y=0.104160308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167819976806641 × 217)
    floor (0.167819976806641 × 131072)
    floor (21996.5)     		tx = 21996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104160308837891 × 217)
    floor (0.104160308837891 × 131072)
    floor (13652.5)     		ty = 13652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21996 / 13652 ti = "17/21996/13652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21996/13652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21996 ÷ 217
    21996 ÷ 131072     		x = 0.167816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13652 ÷ 217
    13652 ÷ 131072     		y = 0.104156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.66436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.08717261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104156494140625 × 2 - 1) × π
    0.79168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48715809988699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08717261} λ = -2.08717261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48715809988699))-π/2
    2×atan(12.0270478381914)-π/2
    2×1.4878412151002-π/2
    2.97568243020039-1.57079632675     		φ = 1.40488610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08717261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.586182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40488610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.494044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21996 KachelY 13652 -2.08717261 1.40488610 -119.586182 80.494044
    Oben rechts KachelX + 1 21997 KachelY 13652 -2.08712467 1.40488610 -119.583435 80.494044
    Unten links KachelX 21996 KachelY + 1 13653 -2.08717261 1.40487819 -119.586182 80.493591
    Unten rechts KachelX + 1 21997 KachelY + 1 13653 -2.08712467 1.40487819 -119.583435 80.493591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40488610-1.40487819) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dl = 50.3946099992918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40488610-1.40487819) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dr = 50.3946099992918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08717261--2.08712467) × cos(1.40488610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165150127241937 × 6371000     		do = 50.4410998239297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08717261--2.08712467) × cos(1.40487819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16515792862013 × 6371000     		du = 50.4434825656372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40488610)-sin(1.40487819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165150127241937-0.16515792862013)×R²
    abs(-2.08712467--2.08717261)×7.80137819256232e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.80137819256232e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.80137819256232e-06×40589641000000     		ar = 2542.01959226189m²