Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21996 / 11722
↖ ↑ ↗
← N 81.330705°
W119.586182°		 ← 46.04 m → N 81.330705°
W119.583435°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.330291°
W119.586182°		 ← 46.04 m →
2 121 m²		 N 81.330291°
W119.583435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167819976806641 y=0.0894355773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167819976806641 × 217)
    floor (0.167819976806641 × 131072)
    floor (21996.5)     		tx = 21996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0894355773925781 × 217)
    floor (0.0894355773925781 × 131072)
    floor (11722.5)     		ty = 11722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21996 / 11722 ti = "17/21996/11722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21996/11722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21996 ÷ 217
    21996 ÷ 131072     		x = 0.167816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11722 ÷ 217
    11722 ÷ 131072     		y = 0.0894317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.66436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.08717261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0894317626953125 × 2 - 1) × π
    0.821136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5796763161537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08717261} λ = -2.08717261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5796763161537))-π/2
    2×atan(13.1928671504843)-π/2
    2×1.4951424583587-π/2
    2.99028491671741-1.57079632675     		φ = 1.41948859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08717261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.586182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41948859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.330705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21996 KachelY 11722 -2.08717261 1.41948859 -119.586182 81.330705
    Oben rechts KachelX + 1 21997 KachelY 11722 -2.08712467 1.41948859 -119.583435 81.330705
    Unten links KachelX 21996 KachelY + 1 11723 -2.08717261 1.41948136 -119.586182 81.330291
    Unten rechts KachelX + 1 21997 KachelY + 1 11723 -2.08712467 1.41948136 -119.583435 81.330291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41948859-1.41948136) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41948859-1.41948136) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08717261--2.08712467) × cos(1.41948859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150731056642688 × 6371000     		do = 46.0371445160447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08717261--2.08712467) × cos(1.41948136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150738204034601 × 6371000     		du = 46.0393275135089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41948859)-sin(1.41948136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150731056642688-0.150738204034601)×R²
    abs(-2.08712467--2.08717261)×7.14739191326474e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.14739191326474e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.14739191326474e-06×40589641000000     		ar = 2120.62841996061m²