Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2198 / 2985
↖ ↑ ↗
← S 63.273182°
E 13.183594°		 ← 4 395.27 m → S 63.273182°
E 13.271484°		 →
↑
4 392.23 m
↓
↑
4 392.23 m
↓
S 63.312683°
E 13.183594°		 ← 4 389.26 m →
19 291 845 m²		 S 63.312683°
E 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5367431640625 y=0.7288818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5367431640625 × 212)
    floor (0.5367431640625 × 4096)
    floor (2198.5)     		tx = 2198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7288818359375 × 212)
    floor (0.7288818359375 × 4096)
    floor (2985.5)     		ty = 2985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2198 / 2985 ti = "12/2198/2985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2198/2985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2198 ÷ 212
    2198 ÷ 4096     		x = 0.53662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2985 ÷ 212
    2985 ÷ 4096     		y = 0.728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53662109375 × 2 - 1) × π
    0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23009712} λ = 0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43733999820776))-π/2
    2×atan(0.237558825892704)-π/2
    2×0.233235484825768-π/2
    0.466470969651536-1.57079632675     		φ = -1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2198 KachelY 2985 0.23009712 -1.10432536 13.183594 -63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 2199 KachelY 2985 0.23163110 -1.10432536 13.271484 -63.273182
    Unten links KachelX 2198 KachelY + 1 2986 0.23009712 -1.10501477 13.183594 -63.312683
    Unten rechts KachelX + 1 2199 KachelY + 1 2986 0.23163110 -1.10501477 13.271484 -63.312683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10432536--1.10501477) × R
    0.00068940999999989 × 6371000     		dl = 4392.2311099993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10432536--1.10501477) × R
    0.00068940999999989 × 6371000     		dr = 4392.2311099993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23009712-0.23163110) × cos(-1.10432536) × R
    0.00153398000000002 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 4395.27462014733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23009712-0.23163110) × cos(-1.10501477) × R
    0.00153398000000002 × 0.449121236737269 × 6371000     		du = 4389.25581942638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10432536)-sin(-1.10501477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.449121236737269)×R²
    abs(0.23163110-0.23009712)×0.000615860941962643×R²
    0.00153398000000002×0.000615860941962643×6371000²
    0.00153398000000002×0.000615860941962643×40589641000000     		ar = 19291844.7058153m²