Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21979 / 13674
↖ ↑ ↗
← N 80.484060°
W119.632874°		 ← 50.49 m → N 80.484060°
W119.630127°		 →
↑
50.46 m
↓
↑
50.46 m
↓
N 80.483606°
W119.632874°		 ← 50.50 m →
2 548 m²		 N 80.483606°
W119.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167690277099609 y=0.104328155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167690277099609 × 217)
    floor (0.167690277099609 × 131072)
    floor (21979.5)     		tx = 21979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104328155517578 × 217)
    floor (0.104328155517578 × 131072)
    floor (13674.5)     		ty = 13674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21979 / 13674 ti = "17/21979/13674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21979/13674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21979 ÷ 217
    21979 ÷ 131072     		x = 0.167686462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13674 ÷ 217
    13674 ÷ 131072     		y = 0.104324340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167686462402344 × 2 - 1) × π
    -0.664627075195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.08798754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104324340820312 × 2 - 1) × π
    0.791351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48610348809535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08798754} λ = -2.08798754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48610348809535))-π/2
    2×atan(12.0143706576496)-π/2
    2×1.48775408516123-π/2
    2.97550817032245-1.57079632675     		φ = 1.40471184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08798754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.632874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40471184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.484060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21979 KachelY 13674 -2.08798754 1.40471184 -119.632874 80.484060
    Oben rechts KachelX + 1 21980 KachelY 13674 -2.08793960 1.40471184 -119.630127 80.484060
    Unten links KachelX 21979 KachelY + 1 13675 -2.08798754 1.40470392 -119.632874 80.483606
    Unten rechts KachelX + 1 21980 KachelY + 1 13675 -2.08793960 1.40470392 -119.630127 80.483606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40471184-1.40470392) × R
    7.92000000005011e-06 × 6371000     		dl = 50.4583200003192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40471184-1.40470392) × R
    7.92000000005011e-06 × 6371000     		dr = 50.4583200003192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08798754--2.08793960) × cos(1.40471184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165321991871878 × 6371000     		do = 50.4935917057093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08798754--2.08793960) × cos(1.40470392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165329802884688 × 6371000     		du = 50.4959773900769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40471184)-sin(1.40470392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165321991871878-0.165329802884688)×R²
    abs(-2.08793960--2.08798754)×7.81101280991625e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.81101280991625e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.81101280991625e-06×40589641000000     		ar = 2547.88199720677m²