Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21978 / 13672
↖ ↑ ↗
← N 80.484968°
W119.635620°		 ← 50.48 m → N 80.484968°
W119.632874°		 →
↑
50.46 m
↓
↑
50.46 m
↓
N 80.484514°
W119.635620°		 ← 50.48 m →
2 547 m²		 N 80.484514°
W119.632874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167682647705078 y=0.104312896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167682647705078 × 217)
    floor (0.167682647705078 × 131072)
    floor (21978.5)     		tx = 21978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104312896728516 × 217)
    floor (0.104312896728516 × 131072)
    floor (13672.5)     		ty = 13672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21978 / 13672 ti = "17/21978/13672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21978/13672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21978 ÷ 217
    21978 ÷ 131072     		x = 0.167678833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13672 ÷ 217
    13672 ÷ 131072     		y = 0.10430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167678833007812 × 2 - 1) × π
    -0.664642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.08803547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10430908203125 × 2 - 1) × π
    0.7913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48619936189459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08803547} λ = -2.08803547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48619936189459))-π/2
    2×atan(12.0155225762286)-π/2
    2×1.48776200981013-π/2
    2.97552401962026-1.57079632675     		φ = 1.40472769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08803547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.635620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40472769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.484968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21978 KachelY 13672 -2.08803547 1.40472769 -119.635620 80.484968
    Oben rechts KachelX + 1 21979 KachelY 13672 -2.08798754 1.40472769 -119.632874 80.484968
    Unten links KachelX 21978 KachelY + 1 13673 -2.08803547 1.40471977 -119.635620 80.484514
    Unten rechts KachelX + 1 21979 KachelY + 1 13673 -2.08798754 1.40471977 -119.632874 80.484514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40472769-1.40471977) × R
    7.92000000005011e-06 × 6371000     		dl = 50.4583200003192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40472769-1.40471977) × R
    7.92000000005011e-06 × 6371000     		dr = 50.4583200003192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08803547--2.08798754) × cos(1.40472769) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165306359952726 × 6371000     		do = 50.478285647106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08803547--2.08798754) × cos(1.40471977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165314170986289 × 6371000     		du = 50.4806708401711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40472769)-sin(1.40471977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165306359952726-0.165314170986289)×R²
    abs(-2.08798754--2.08803547)×7.81103356259361e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.81103356259361e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.81103356259361e-06×40589641000000     		ar = 2547.10966654065m²