Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21978 / 13658
↖ ↑ ↗
← N 80.491323°
W119.635620°		 ← 50.44 m → N 80.491323°
W119.632874°		 →
↑
50.46 m
↓
↑
50.46 m
↓
N 80.490869°
W119.635620°		 ← 50.45 m →
2 545 m²		 N 80.490869°
W119.632874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167682647705078 y=0.104206085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167682647705078 × 217)
    floor (0.167682647705078 × 131072)
    floor (21978.5)     		tx = 21978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104206085205078 × 217)
    floor (0.104206085205078 × 131072)
    floor (13658.5)     		ty = 13658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21978 / 13658 ti = "17/21978/13658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21978/13658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21978 ÷ 217
    21978 ÷ 131072     		x = 0.167678833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13658 ÷ 217
    13658 ÷ 131072     		y = 0.104202270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167678833007812 × 2 - 1) × π
    -0.664642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.08803547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104202270507812 × 2 - 1) × π
    0.791595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48687047848927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08803547} λ = -2.08803547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48687047848927))-π/2
    2×atan(12.0235890993092)-π/2
    2×1.4878174613765-π/2
    2.975634922753-1.57079632675     		φ = 1.40483860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08803547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.635620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40483860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.491323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21978 KachelY 13658 -2.08803547 1.40483860 -119.635620 80.491323
    Oben rechts KachelX + 1 21979 KachelY 13658 -2.08798754 1.40483860 -119.632874 80.491323
    Unten links KachelX 21978 KachelY + 1 13659 -2.08803547 1.40483068 -119.635620 80.490869
    Unten rechts KachelX + 1 21979 KachelY + 1 13659 -2.08798754 1.40483068 -119.632874 80.490869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40483860-1.40483068) × R
    7.91999999982806e-06 × 6371000     		dl = 50.4583199989046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40483860-1.40483068) × R
    7.91999999982806e-06 × 6371000     		dr = 50.4583199989046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08803547--2.08798754) × cos(1.40483860) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165196974806503 × 6371000     		do = 50.4448835768035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08803547--2.08798754) × cos(1.40483068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165204785985227 × 6371000     		du = 50.4472688141953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40483860)-sin(1.40483068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165196974806503-0.165204785985227)×R²
    abs(-2.08798754--2.08803547)×7.81117872408754e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.81117872408754e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.81117872408754e-06×40589641000000     		ar = 2545.42425530225m²