Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2197 / 3001
↖ ↑ ↗
← S 63.898731°
E 13.095703°		 ← 4 299.71 m → S 63.898731°
E 13.183594°		 →
↑
4 296.73 m
↓
↑
4 296.73 m
↓
S 63.937372°
E 13.095703°		 ← 4 293.79 m →
18 461 992 m²		 S 63.937372°
E 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5364990234375 y=0.7327880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5364990234375 × 212)
    floor (0.5364990234375 × 4096)
    floor (2197.5)     		tx = 2197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7327880859375 × 212)
    floor (0.7327880859375 × 4096)
    floor (3001.5)     		ty = 3001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2197 / 3001 ti = "12/2197/3001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2197/3001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2197 ÷ 212
    2197 ÷ 4096     		x = 0.536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3001 ÷ 212
    3001 ÷ 4096     		y = 0.732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536376953125 × 2 - 1) × π
    0.07275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22856314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22856314} λ = 0.22856314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46188369081323))-π/2
    2×atan(0.231799225154917)-π/2
    2×0.227776543120856-π/2
    0.455553086241713-1.57079632675     		φ = -1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22856314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2197 KachelY 3001 0.22856314 -1.11524324 13.095703 -63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 2198 KachelY 3001 0.23009712 -1.11524324 13.183594 -63.898731
    Unten links KachelX 2197 KachelY + 1 3002 0.22856314 -1.11591766 13.095703 -63.937372
    Unten rechts KachelX + 1 2198 KachelY + 1 3002 0.23009712 -1.11591766 13.183594 -63.937372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11524324--1.11591766) × R
    0.000674419999999953 × 6371000     		dl = 4296.7298199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11524324--1.11591766) × R
    0.000674419999999953 × 6371000     		dr = 4296.7298199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22856314-0.23009712) × cos(-1.11524324) × R
    0.00153397999999999 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 4299.71401724354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22856314-0.23009712) × cos(-1.11591766) × R
    0.00153397999999999 × 0.439353321681726 × 6371000     		du = 4293.7941166739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11524324)-sin(-1.11591766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.439353321681726)×R²
    abs(0.23009712-0.22856314)×0.000605741194994958×R²
    0.00153397999999999×0.000605741194994958×6371000²
    0.00153397999999999×0.000605741194994958×40589641000000     		ar = 18461992.0284841m²