Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2196 / 3000
↖ ↑ ↗
← S 63.860036°
E 13.007813°		 ← 4 305.64 m → S 63.860036°
E 13.095703°		 →
↑
4 302.65 m
↓
↑
4 302.65 m
↓
S 63.898731°
E 13.007813°		 ← 4 299.71 m →
18 512 935 m²		 S 63.898731°
E 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5362548828125 y=0.7325439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5362548828125 × 212)
    floor (0.5362548828125 × 4096)
    floor (2196.5)     		tx = 2196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7325439453125 × 212)
    floor (0.7325439453125 × 4096)
    floor (3000.5)     		ty = 3000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2196 / 3000 ti = "12/2196/3000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2196/3000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2196 ÷ 212
    2196 ÷ 4096     		x = 0.5361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3000 ÷ 212
    3000 ÷ 4096     		y = 0.732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732421875 × 2 - 1) × π
    -0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22702916} λ = 0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46034971002539))-π/2
    2×atan(0.232155073575483)-π/2
    2×0.228114219998436-π/2
    0.456228439996872-1.57079632675     		φ = -1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2196 KachelY 3000 0.22702916 -1.11456789 13.007813 -63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 2197 KachelY 3000 0.22856314 -1.11456789 13.095703 -63.860036
    Unten links KachelX 2196 KachelY + 1 3001 0.22702916 -1.11524324 13.007813 -63.898731
    Unten rechts KachelX + 1 2197 KachelY + 1 3001 0.22856314 -1.11524324 13.095703 -63.898731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11456789--1.11524324) × R
    0.000675350000000075 × 6371000     		dl = 4302.65485000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11456789--1.11524324) × R
    0.000675350000000075 × 6371000     		dr = 4302.65485000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22702916-0.22856314) × cos(-1.11456789) × R
    0.00153397999999999 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 4305.64012139481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22702916-0.22856314) × cos(-1.11524324) × R
    0.00153397999999999 × 0.439959062876721 × 6371000     		du = 4299.71401724354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11456789)-sin(-1.11524324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.439959062876721)×R²
    abs(0.22856314-0.22702916)×0.000606375963249028×R²
    0.00153397999999999×0.000606375963249028×6371000²
    0.00153397999999999×0.000606375963249028×40589641000000     		ar = 18512935.0639295m²