Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21952 / 8512
↖ ↑ ↗
← N 82.563390°
W119.707031°		 ← 39.52 m → N 82.563390°
W119.704285°		 →
↑
39.50 m
↓
↑
39.50 m
↓
N 82.563034°
W119.707031°		 ← 39.52 m →
1 561 m²		 N 82.563034°
W119.704285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167484283447266 y=0.0649452209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167484283447266 × 217)
    floor (0.167484283447266 × 131072)
    floor (21952.5)     		tx = 21952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0649452209472656 × 217)
    floor (0.0649452209472656 × 131072)
    floor (8512.5)     		ty = 8512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21952 / 8512 ti = "17/21952/8512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21952/8512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21952 ÷ 217
    21952 ÷ 131072     		x = 0.16748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8512 ÷ 217
    8512 ÷ 131072     		y = 0.06494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16748046875 × 2 - 1) × π
    -0.6650390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.08928183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06494140625 × 2 - 1) × π
    0.8701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.73355376393408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08928183} λ = -2.08928183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73355376393408))-π/2
    2×atan(15.3874734169397)-π/2
    2×1.50589965926103-π/2
    3.01179931852205-1.57079632675     		φ = 1.44100299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08928183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44100299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.563390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21952 KachelY 8512 -2.08928183 1.44100299 -119.707031 82.563390
    Oben rechts KachelX + 1 21953 KachelY 8512 -2.08923390 1.44100299 -119.704285 82.563390
    Unten links KachelX 21952 KachelY + 1 8513 -2.08928183 1.44099679 -119.707031 82.563034
    Unten rechts KachelX + 1 21953 KachelY + 1 8513 -2.08923390 1.44099679 -119.704285 82.563034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44100299-1.44099679) × R
    6.20000000006726e-06 × 6371000     		dl = 39.5002000004285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44100299-1.44099679) × R
    6.20000000006726e-06 × 6371000     		dr = 39.5002000004285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08928183--2.08923390) × cos(1.44100299) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.129429220493824 × 6371000     		do = 39.5227695113358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08928183--2.08923390) × cos(1.44099679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.129435368341047 × 6371000     		du = 39.5246468304442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44100299)-sin(1.44099679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129429220493824-0.129435368341047)×R²
    abs(-2.08923390--2.08928183)×6.14784722391404e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.14784722391404e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.14784722391404e-06×40589641000000     		ar = 1561.19437747881m²