Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21951 / 8513
↖ ↑ ↗
← N 82.563034°
W119.709778°		 ← 39.53 m → N 82.563034°
W119.707031°		 →
↑
39.56 m
↓
↑
39.56 m
↓
N 82.562679°
W119.709778°		 ← 39.53 m →
1 564 m²		 N 82.562679°
W119.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167476654052734 y=0.0649528503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167476654052734 × 217)
    floor (0.167476654052734 × 131072)
    floor (21951.5)     		tx = 21951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0649528503417969 × 217)
    floor (0.0649528503417969 × 131072)
    floor (8513.5)     		ty = 8513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21951 / 8513 ti = "17/21951/8513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21951/8513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21951 ÷ 217
    21951 ÷ 131072     		x = 0.167472839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8513 ÷ 217
    8513 ÷ 131072     		y = 0.0649490356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167472839355469 × 2 - 1) × π
    -0.665054321289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.08932977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0649490356445312 × 2 - 1) × π
    0.870101928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.73350582703446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08932977} λ = -2.08932977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73350582703446))-π/2
    2×atan(15.3867358068506)-π/2
    2×1.50589655696956-π/2
    3.01179311393912-1.57079632675     		φ = 1.44099679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08932977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.709778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44099679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.563034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21951 KachelY 8513 -2.08932977 1.44099679 -119.709778 82.563034
    Oben rechts KachelX + 1 21952 KachelY 8513 -2.08928183 1.44099679 -119.707031 82.563034
    Unten links KachelX 21951 KachelY + 1 8514 -2.08932977 1.44099058 -119.709778 82.562679
    Unten rechts KachelX + 1 21952 KachelY + 1 8514 -2.08928183 1.44099058 -119.707031 82.562679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44099679-1.44099058) × R
    6.21000000000649e-06 × 6371000     		dl = 39.5639100000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44099679-1.44099058) × R
    6.21000000000649e-06 × 6371000     		dr = 39.5639100000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08932977--2.08928183) × cos(1.44099679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.129435368341047 × 6371000     		do = 39.5328931577111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08932977--2.08928183) × cos(1.44099058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.129441526099166 × 6371000     		du = 39.5347738955413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44099679)-sin(1.44099058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129435368341047-0.129441526099166)×R²
    abs(-2.08928183--2.08932977)×6.15775811893537e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.15775811893537e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.15775811893537e-06×40589641000000     		ar = 1564.11303161642m²