Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21951 / 8511
↖ ↑ ↗
← N 82.563745°
W119.709778°		 ← 39.53 m → N 82.563745°
W119.707031°		 →
↑
39.56 m
↓
↑
39.56 m
↓
N 82.563390°
W119.709778°		 ← 39.53 m →
1 564 m²		 N 82.563390°
W119.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167476654052734 y=0.0649375915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167476654052734 × 217)
    floor (0.167476654052734 × 131072)
    floor (21951.5)     		tx = 21951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0649375915527344 × 217)
    floor (0.0649375915527344 × 131072)
    floor (8511.5)     		ty = 8511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21951 / 8511 ti = "17/21951/8511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21951/8511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21951 ÷ 217
    21951 ÷ 131072     		x = 0.167472839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8511 ÷ 217
    8511 ÷ 131072     		y = 0.0649337768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167472839355469 × 2 - 1) × π
    -0.665054321289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.08932977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0649337768554688 × 2 - 1) × π
    0.870132446289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.7336017008337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08932977} λ = -2.08932977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7336017008337))-π/2
    2×atan(15.3882110623884)-π/2
    2×1.50590276140503-π/2
    3.01180552281006-1.57079632675     		φ = 1.44100920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08932977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.709778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44100920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.563745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21951 KachelY 8511 -2.08932977 1.44100920 -119.709778 82.563745
    Oben rechts KachelX + 1 21952 KachelY 8511 -2.08928183 1.44100920 -119.707031 82.563745
    Unten links KachelX 21951 KachelY + 1 8512 -2.08932977 1.44100299 -119.709778 82.563390
    Unten rechts KachelX + 1 21952 KachelY + 1 8512 -2.08928183 1.44100299 -119.707031 82.563390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44100920-1.44100299) × R
    6.21000000000649e-06 × 6371000     		dl = 39.5639100000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44100920-1.44100299) × R
    6.21000000000649e-06 × 6371000     		dr = 39.5639100000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08932977--2.08928183) × cos(1.44100920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.12942306272573 × 6371000     		do = 39.5291347060465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08932977--2.08928183) × cos(1.44100299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.129429220493824 × 6371000     		du = 39.5310154469233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44100920)-sin(1.44100299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12942306272573-0.129429220493824)×R²
    abs(-2.08928183--2.08932977)×6.1577680937619e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.1577680937619e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.1577680937619e-06×40589641000000     		ar = 1563.96433257126m²