Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2195 / 3004
↖ ↑ ↗
← S 64.014496°
E 12.919922°		 ← 4 281.97 m → S 64.014496°
E 13.007813°		 →
↑
4 279.02 m
↓
↑
4 279.02 m
↓
S 64.052978°
E 12.919922°		 ← 4 276.07 m →
18 310 015 m²		 S 64.052978°
E 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5360107421875 y=0.7335205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5360107421875 × 212)
    floor (0.5360107421875 × 4096)
    floor (2195.5)     		tx = 2195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7335205078125 × 212)
    floor (0.7335205078125 × 4096)
    floor (3004.5)     		ty = 3004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2195 / 3004 ti = "12/2195/3004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2195/3004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2195 ÷ 212
    2195 ÷ 4096     		x = 0.535888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3004 ÷ 212
    3004 ÷ 4096     		y = 0.7333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535888671875 × 2 - 1) × π
    0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7333984375 × 2 - 1) × π
    -0.466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46648563317676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22549518} λ = 0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46648563317676))-π/2
    2×atan(0.230734949227341)-π/2
    2×0.22676629960392-π/2
    0.45353259920784-1.57079632675     		φ = -1.11726373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11726373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.014496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2195 KachelY 3004 0.22549518 -1.11726373 12.919922 -64.014496
    Oben rechts KachelX + 1 2196 KachelY 3004 0.22702916 -1.11726373 13.007813 -64.014496
    Unten links KachelX 2195 KachelY + 1 3005 0.22549518 -1.11793537 12.919922 -64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 2196 KachelY + 1 3005 0.22702916 -1.11793537 13.007813 -64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11726373--1.11793537) × R
    0.000671640000000195 × 6371000     		dl = 4279.01844000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11726373--1.11793537) × R
    0.000671640000000195 × 6371000     		dr = 4279.01844000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22549518-0.22702916) × cos(-1.11726373) × R
    0.00153398000000002 × 0.438143730026227 × 6371000     		do = 4281.97279365751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22549518-0.22702916) × cos(-1.11793537) × R
    0.00153398000000002 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 4276.07148043194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11726373)-sin(-1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438143730026227-0.437539890741556)×R²
    abs(0.22702916-0.22549518)×0.00060383928467167×R²
    0.00153398000000002×0.00060383928467167×6371000²
    0.00153398000000002×0.00060383928467167×40589641000000     		ar = 18310015.3178922m²