Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2194 / 3005
↖ ↑ ↗
← S 64.052978°
E 12.832032°		 ← 4 276.07 m → S 64.052978°
E 12.919922°		 →
↑
4 273.09 m
↓
↑
4 273.09 m
↓
S 64.091407°
E 12.832032°		 ← 4 270.18 m →
18 259 458 m²		 S 64.091407°
E 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5357666015625 y=0.7337646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5357666015625 × 212)
    floor (0.5357666015625 × 4096)
    floor (2194.5)     		tx = 2194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7337646484375 × 212)
    floor (0.7337646484375 × 4096)
    floor (3005.5)     		ty = 3005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2194 / 3005 ti = "12/2194/3005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2194/3005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2194 ÷ 212
    2194 ÷ 4096     		x = 0.53564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3005 ÷ 212
    3005 ÷ 4096     		y = 0.733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.46728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4680196139646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22396120} λ = 0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4680196139646))-π/2
    2×atan(0.23038127758025)-π/2
    2×0.22643047918053-π/2
    0.45286095836106-1.57079632675     		φ = -1.11793537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11793537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.052978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2194 KachelY 3005 0.22396120 -1.11793537 12.832032 -64.052978
    Oben rechts KachelX + 1 2195 KachelY 3005 0.22549518 -1.11793537 12.919922 -64.052978
    Unten links KachelX 2194 KachelY + 1 3006 0.22396120 -1.11860608 12.832032 -64.091407
    Unten rechts KachelX + 1 2195 KachelY + 1 3006 0.22549518 -1.11860608 12.919922 -64.091407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11793537--1.11860608) × R
    0.000670709999999852 × 6371000     		dl = 4273.09340999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11793537--1.11860608) × R
    0.000670709999999852 × 6371000     		dr = 4273.09340999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22396120-0.22549518) × cos(-1.11793537) × R
    0.00153397999999999 × 0.437539890741556 × 6371000     		do = 4276.07148043186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22396120-0.22549518) × cos(-1.11860608) × R
    0.00153397999999999 × 0.436936690610512 × 6371000     		du = 4270.17641364612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11793537)-sin(-1.11860608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437539890741556-0.436936690610512)×R²
    abs(0.22549518-0.22396120)×0.000603200131043313×R²
    0.00153397999999999×0.000603200131043313×6371000²
    0.00153397999999999×0.000603200131043313×40589641000000     		ar = 18259458.4627071m²