Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2192 / 6437
↖ ↑ ↗
← S 71.145194°
W 83.671875°		 ← 1 579.17 m → S 71.145194°
W 83.627930°		 →
↑
1 578.61 m
↓
↑
1 578.61 m
↓
S 71.159391°
W 83.671875°		 ← 1 578.03 m →
2 491 988 m²		 S 71.159391°
W 83.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26763916015625 y=0.78582763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26763916015625 × 213)
    floor (0.26763916015625 × 8192)
    floor (2192.5)     		tx = 2192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78582763671875 × 213)
    floor (0.78582763671875 × 8192)
    floor (6437.5)     		ty = 6437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2192 / 6437 ti = "13/2192/6437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2192/6437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2192 ÷ 213
    2192 ÷ 8192     		x = 0.267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6437 ÷ 213
    6437 ÷ 8192     		y = 0.7857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267578125 × 2 - 1) × π
    -0.46484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46034971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46034971} λ = -1.46034971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79552451216882))-π/2
    2×atan(0.166040339324419)-π/2
    2×0.164539216012918-π/2
    0.329078432025836-1.57079632675     		φ = -1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46034971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2192 KachelY 6437 -1.46034971 -1.24171789 -83.671875 -71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 2193 KachelY 6437 -1.45958272 -1.24171789 -83.627930 -71.145194
    Unten links KachelX 2192 KachelY + 1 6438 -1.46034971 -1.24196567 -83.671875 -71.159391
    Unten rechts KachelX + 1 2193 KachelY + 1 6438 -1.45958272 -1.24196567 -83.627930 -71.159391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24171789--1.24196567) × R
    0.000247779999999809 × 6371000     		dl = 1578.60637999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24171789--1.24196567) × R
    0.000247779999999809 × 6371000     		dr = 1578.60637999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46034971--1.45958272) × cos(-1.24171789) × R
    0.000766990000000023 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 1579.17318250809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46034971--1.45958272) × cos(-1.24196567) × R
    0.000766990000000023 × 0.322936558918546 × 6371000     		du = 1578.02732825121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24171789)-sin(-1.24196567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.322936558918546)×R²
    abs(-1.45958272--1.46034971)×0.000234494184044309×R²
    0.000766990000000023×0.000234494184044309×6371000²
    0.000766990000000023×0.000234494184044309×40589641000000     		ar = 2491988.44736143m²