Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21906 / 9366
↖ ↑ ↗
← N 82.253559°
W119.833374°		 ← 41.17 m → N 82.253559°
W119.830627°		 →
↑
41.22 m
↓
↑
41.22 m
↓
N 82.253188°
W119.833374°		 ← 41.17 m →
1 697 m²		 N 82.253188°
W119.830627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167133331298828 y=0.0714607238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167133331298828 × 217)
    floor (0.167133331298828 × 131072)
    floor (21906.5)     		tx = 21906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0714607238769531 × 217)
    floor (0.0714607238769531 × 131072)
    floor (9366.5)     		ty = 9366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21906 / 9366 ti = "17/21906/9366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21906/9366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21906 ÷ 217
    21906 ÷ 131072     		x = 0.167129516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9366 ÷ 217
    9366 ÷ 131072     		y = 0.0714569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167129516601562 × 2 - 1) × π
    -0.665740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09148693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0714569091796875 × 2 - 1) × π
    0.857086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69261565165855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09148693} λ = -2.09148693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69261565165855))-π/2
    2×atan(14.7702592913284)-π/2
    2×1.50319587089551-π/2
    3.00639174179101-1.57079632675     		φ = 1.43559542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09148693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.833374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43559542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.253559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21906 KachelY 9366 -2.09148693 1.43559542 -119.833374 82.253559
    Oben rechts KachelX + 1 21907 KachelY 9366 -2.09143899 1.43559542 -119.830627 82.253559
    Unten links KachelX 21906 KachelY + 1 9367 -2.09148693 1.43558895 -119.833374 82.253188
    Unten rechts KachelX + 1 21907 KachelY + 1 9367 -2.09143899 1.43558895 -119.830627 82.253188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43559542-1.43558895) × R
    6.46999999998066e-06 × 6371000     		dl = 41.2203699998768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43559542-1.43558895) × R
    6.46999999998066e-06 × 6371000     		dr = 41.2203699998768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09148693--2.09143899) × cos(1.43559542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134789387100249 × 6371000     		do = 41.1681482992131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09148693--2.09143899) × cos(1.43558895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134795798053962 × 6371000     		du = 41.1701063694949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43559542)-sin(1.43558895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134789387100249-0.134795798053962)×R²
    abs(-2.09143899--2.09148693)×6.4109537127599e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.4109537127599e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.4109537127599e-06×40589641000000     		ar = 1697.00666130975m²