Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21903 / 9107
↖ ↑ ↗
← N 82.348855°
W119.841614°		 ← 40.66 m → N 82.348855°
W119.838867°		 →
↑
40.65 m
↓
↑
40.65 m
↓
N 82.348490°
W119.841614°		 ← 40.67 m →
1 653 m²		 N 82.348490°
W119.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167110443115234 y=0.0694847106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167110443115234 × 217)
    floor (0.167110443115234 × 131072)
    floor (21903.5)     		tx = 21903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0694847106933594 × 217)
    floor (0.0694847106933594 × 131072)
    floor (9107.5)     		ty = 9107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21903 / 9107 ti = "17/21903/9107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21903/9107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21903 ÷ 217
    21903 ÷ 131072     		x = 0.167106628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9107 ÷ 217
    9107 ÷ 131072     		y = 0.0694808959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167106628417969 × 2 - 1) × π
    -0.665786743164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.09163074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0694808959960938 × 2 - 1) × π
    0.861038208007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.70503130866015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09163074} λ = -2.09163074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70503130866015))-π/2
    2×atan(14.9547848974745)-π/2
    2×1.50402749398818-π/2
    3.00805498797637-1.57079632675     		φ = 1.43725866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09163074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.841614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43725866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.348855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21903 KachelY 9107 -2.09163074 1.43725866 -119.841614 82.348855
    Oben rechts KachelX + 1 21904 KachelY 9107 -2.09158280 1.43725866 -119.838867 82.348855
    Unten links KachelX 21903 KachelY + 1 9108 -2.09163074 1.43725228 -119.841614 82.348490
    Unten rechts KachelX + 1 21904 KachelY + 1 9108 -2.09158280 1.43725228 -119.838867 82.348490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43725866-1.43725228) × R
    6.3799999998615e-06 × 6371000     		dl = 40.6469799991176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43725866-1.43725228) × R
    6.3799999998615e-06 × 6371000     		dr = 40.6469799991176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09163074--2.09158280) × cos(1.43725866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133141139699011 × 6371000     		do = 40.6647311169873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09163074--2.09158280) × cos(1.43725228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13314746289572 × 6371000     		du = 40.6666623840212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43725866)-sin(1.43725228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133141139699011-0.13314746289572)×R²
    abs(-2.09158280--2.09163074)×6.32319670856862e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.32319670856862e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.32319670856862e-06×40589641000000     		ar = 1652.93776249281m²