Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21903 / 14223
↖ ↑ ↗
← N 80.231513°
W119.841614°		 ← 51.82 m → N 80.231513°
W119.838867°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
N 80.231047°
W119.841614°		 ← 51.82 m →
2 684 m²		 N 80.231047°
W119.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167110443115234 y=0.108516693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167110443115234 × 217)
    floor (0.167110443115234 × 131072)
    floor (21903.5)     		tx = 21903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108516693115234 × 217)
    floor (0.108516693115234 × 131072)
    floor (14223.5)     		ty = 14223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21903 / 14223 ti = "17/21903/14223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21903/14223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21903 ÷ 217
    21903 ÷ 131072     		x = 0.167106628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14223 ÷ 217
    14223 ÷ 131072     		y = 0.108512878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167106628417969 × 2 - 1) × π
    -0.665786743164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.09163074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108512878417969 × 2 - 1) × π
    0.782974243164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.45978613020394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09163074} λ = -2.09163074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45978613020394))-π/2
    2×atan(11.7023085019955)-π/2
    2×1.48555019569581-π/2
    2.97110039139162-1.57079632675     		φ = 1.40030406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09163074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.841614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40030406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.231513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21903 KachelY 14223 -2.09163074 1.40030406 -119.841614 80.231513
    Oben rechts KachelX + 1 21904 KachelY 14223 -2.09158280 1.40030406 -119.838867 80.231513
    Unten links KachelX 21903 KachelY + 1 14224 -2.09163074 1.40029593 -119.841614 80.231047
    Unten rechts KachelX + 1 21904 KachelY + 1 14224 -2.09158280 1.40029593 -119.838867 80.231047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40030406-1.40029593) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dl = 51.796230000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40030406-1.40029593) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dr = 51.796230000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09163074--2.09158280) × cos(1.40030406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169667499203015 × 6371000     		do = 51.8208214979964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09163074--2.09158280) × cos(1.40029593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169675511323503 × 6371000     		du = 51.8232686058252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40030406)-sin(1.40029593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169667499203015-0.169675511323503)×R²
    abs(-2.09158280--2.09163074)×8.01212048731625e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.01212048731625e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.01212048731625e-06×40589641000000     		ar = 2684.1865645116m²