Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21900 / 9108
↖ ↑ ↗
← N 82.348490°
W119.849853°		 ← 40.67 m → N 82.348490°
W119.847107°		 →
↑
40.65 m
↓
↑
40.65 m
↓
N 82.348124°
W119.849853°		 ← 40.67 m →
1 653 m²		 N 82.348124°
W119.847107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167087554931641 y=0.0694923400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167087554931641 × 217)
    floor (0.167087554931641 × 131072)
    floor (21900.5)     		tx = 21900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0694923400878906 × 217)
    floor (0.0694923400878906 × 131072)
    floor (9108.5)     		ty = 9108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21900 / 9108 ti = "17/21900/9108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21900/9108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21900 ÷ 217
    21900 ÷ 131072     		x = 0.167083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9108 ÷ 217
    9108 ÷ 131072     		y = 0.069488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.66583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09177455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.069488525390625 × 2 - 1) × π
    0.86102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.70498337176053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09177455} λ = -2.09177455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70498337176053))-π/2
    2×atan(14.9540680286344)-π/2
    2×1.50402430272568-π/2
    3.00804860545136-1.57079632675     		φ = 1.43725228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09177455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.849853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43725228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.348490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21900 KachelY 9108 -2.09177455 1.43725228 -119.849853 82.348490
    Oben rechts KachelX + 1 21901 KachelY 9108 -2.09172661 1.43725228 -119.847107 82.348490
    Unten links KachelX 21900 KachelY + 1 9109 -2.09177455 1.43724590 -119.849853 82.348124
    Unten rechts KachelX + 1 21901 KachelY + 1 9109 -2.09172661 1.43724590 -119.847107 82.348124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43725228-1.43724590) × R
    6.38000000008354e-06 × 6371000     		dl = 40.6469800005322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43725228-1.43724590) × R
    6.38000000008354e-06 × 6371000     		dr = 40.6469800005322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09177455--2.09172661) × cos(1.43725228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13314746289572 × 6371000     		do = 40.6666623840212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09177455--2.09172661) × cos(1.43724590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133153786087009 × 6371000     		du = 40.6685936493998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43725228)-sin(1.43724590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13314746289572-0.133153786087009)×R²
    abs(-2.09172661--2.09177455)×6.32319128912595e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.32319128912595e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.32319128912595e-06×40589641000000     		ar = 1653.01626258163m²