Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2190 / 6460
↖ ↑ ↗
← S 71.469124°
W 83.759766°		 ← 1 553 m → S 71.469124°
W 83.715820°		 →
↑
1 552.42 m
↓
↑
1 552.42 m
↓
S 71.483085°
W 83.759766°		 ← 1 551.88 m →
2 410 041 m²		 S 71.483085°
W 83.715820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26739501953125 y=0.78863525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26739501953125 × 213)
    floor (0.26739501953125 × 8192)
    floor (2190.5)     		tx = 2190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78863525390625 × 213)
    floor (0.78863525390625 × 8192)
    floor (6460.5)     		ty = 6460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2190 / 6460 ti = "13/2190/6460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2190/6460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2190 ÷ 213
    2190 ÷ 8192     		x = 0.267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6460 ÷ 213
    6460 ÷ 8192     		y = 0.78857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267333984375 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46188369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78857421875 × 2 - 1) × π
    -0.5771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.813165291229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46188369} λ = -1.46188369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.813165291229))-π/2
    2×atan(0.163136942765584)-π/2
    2×0.161712398090472-π/2
    0.323424796180943-1.57079632675     		φ = -1.24737153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46188369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.759766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24737153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.469124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2190 KachelY 6460 -1.46188369 -1.24737153 -83.759766 -71.469124
    Oben rechts KachelX + 1 2191 KachelY 6460 -1.46111670 -1.24737153 -83.715820 -71.469124
    Unten links KachelX 2190 KachelY + 1 6461 -1.46188369 -1.24761520 -83.759766 -71.483085
    Unten rechts KachelX + 1 2191 KachelY + 1 6461 -1.46111670 -1.24761520 -83.715820 -71.483085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24737153--1.24761520) × R
    0.00024367000000014 × 6371000     		dl = 1552.42157000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24737153--1.24761520) × R
    0.00024367000000014 × 6371000     		dr = 1552.42157000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46188369--1.46111670) × cos(-1.24737153) × R
    0.000766990000000023 × 0.317815647867951 × 6371000     		do = 1553.00403076379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46188369--1.46111670) × cos(-1.24761520) × R
    0.000766990000000023 × 0.317584602108883 × 6371000     		du = 1551.87502721242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24737153)-sin(-1.24761520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317815647867951-0.317584602108883)×R²
    abs(-1.46111670--1.46188369)×0.000231045759068405×R²
    0.000766990000000023×0.000231045759068405×6371000²
    0.000766990000000023×0.000231045759068405×40589641000000     		ar = 2410040.62284626m²