Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 219 / 173
↖ ↑ ↗
← N 75.758940°
W103.007812°		 ← 9 616.70 m → N 75.758940°
W102.656250°		 →
↑
9 645.31 m
↓
↑
9 645.31 m
↓
N 75.672198°
W103.007812°		 ← 9 674.05 m →
93 032 675 m²		 N 75.672198°
W102.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21435546875 y=0.16943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21435546875 × 210)
    floor (0.21435546875 × 1024)
    floor (219.5)     		tx = 219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16943359375 × 210)
    floor (0.16943359375 × 1024)
    floor (173.5)     		ty = 173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 219 / 173 ti = "10/219/173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/219/173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 219 ÷ 210
    219 ÷ 1024     		x = 0.2138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 173 ÷ 210
    173 ÷ 1024     		y = 0.1689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2138671875 × 2 - 1) × π
    -0.572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.79782548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1689453125 × 2 - 1) × π
    0.662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08007794831348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79782548} λ = -1.79782548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08007794831348))-π/2
    2×atan(8.00509287346647)-π/2
    2×1.44651963506606-π/2
    2.89303927013213-1.57079632675     		φ = 1.32224294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79782548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.007812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32224294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.758940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 219 KachelY 173 -1.79782548 1.32224294 -103.007812 75.758940
    Oben rechts KachelX + 1 220 KachelY 173 -1.79168956 1.32224294 -102.656250 75.758940
    Unten links KachelX 219 KachelY + 1 174 -1.79782548 1.32072900 -103.007812 75.672198
    Unten rechts KachelX + 1 220 KachelY + 1 174 -1.79168956 1.32072900 -102.656250 75.672198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32224294-1.32072900) × R
    0.00151393999999994 × 6371000     		dl = 9645.31173999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32224294-1.32072900) × R
    0.00151393999999994 × 6371000     		dr = 9645.31173999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79782548--1.79168956) × cos(1.32224294) × R
    0.00613591999999996 × 0.246002059369733 × 6371000     		do = 9616.69929949099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79782548--1.79168956) × cos(1.32072900) × R
    0.00613591999999996 × 0.247469192461635 × 6371000     		du = 9674.0523875639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32224294)-sin(1.32072900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246002059369733-0.247469192461635)×R²
    abs(-1.79168956--1.79782548)×0.00146713309190169×R²
    0.00613591999999996×0.00146713309190169×6371000²
    0.00613591999999996×0.00146713309190169×40589641000000     		ar = 93032674.6296354m²