Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21892 / 14196
↖ ↑ ↗
← N 80.244087°
W119.871826°		 ← 51.75 m → N 80.244087°
W119.869080°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.243622°
W119.871826°		 ← 51.76 m →
2 677 m²		 N 80.243622°
W119.869080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167026519775391 y=0.108310699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167026519775391 × 217)
    floor (0.167026519775391 × 131072)
    floor (21892.5)     		tx = 21892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108310699462891 × 217)
    floor (0.108310699462891 × 131072)
    floor (14196.5)     		ty = 14196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21892 / 14196 ti = "17/21892/14196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21892/14196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21892 ÷ 217
    21892 ÷ 131072     		x = 0.167022705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14196 ÷ 217
    14196 ÷ 131072     		y = 0.108306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167022705078125 × 2 - 1) × π
    -0.66595458984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.09215805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108306884765625 × 2 - 1) × π
    0.78338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46108042649368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09215805} λ = -2.09215805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46108042649368))-π/2
    2×atan(11.7174645625718)-π/2
    2×1.48565992570247-π/2
    2.97131985140495-1.57079632675     		φ = 1.40052352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09215805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.871826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40052352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.244087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21892 KachelY 14196 -2.09215805 1.40052352 -119.871826 80.244087
    Oben rechts KachelX + 1 21893 KachelY 14196 -2.09211011 1.40052352 -119.869080 80.244087
    Unten links KachelX 21892 KachelY + 1 14197 -2.09215805 1.40051540 -119.871826 80.243622
    Unten rechts KachelX + 1 21893 KachelY + 1 14197 -2.09211011 1.40051540 -119.869080 80.243622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40052352-1.40051540) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40052352-1.40051540) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09215805--2.09211011) × cos(1.40052352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169451216989445 × 6371000     		do = 51.754763342868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09215805--2.09211011) × cos(1.40051540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169459219557097 × 6371000     		du = 51.7572075330149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40052352)-sin(1.40051540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169451216989445-0.169459219557097)×R²
    abs(-2.09211011--2.09215805)×8.00256765179364e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.00256765179364e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.00256765179364e-06×40589641000000     		ar = 2677.46755182409m²