Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2189 / 6459
↖ ↑ ↗
← S 71.455153°
W 83.803711°		 ← 1 554.13 m → S 71.455153°
W 83.759766°		 →
↑
1 553.57 m
↓
↑
1 553.57 m
↓
S 71.469124°
W 83.803711°		 ← 1 553 m →
2 413 575 m²		 S 71.469124°
W 83.759766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26727294921875 y=0.78851318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26727294921875 × 213)
    floor (0.26727294921875 × 8192)
    floor (2189.5)     		tx = 2189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78851318359375 × 213)
    floor (0.78851318359375 × 8192)
    floor (6459.5)     		ty = 6459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2189 / 6459 ti = "13/2189/6459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2189/6459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2189 ÷ 213
    2189 ÷ 8192     		x = 0.2672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6459 ÷ 213
    6459 ÷ 8192     		y = 0.7884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.465576171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46265068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81239830083508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46265068} λ = -1.46265068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81239830083508))-π/2
    2×atan(0.163262115230481)-π/2
    2×0.161834323191566-π/2
    0.323668646383132-1.57079632675     		φ = -1.24712768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46265068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.803711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24712768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.455153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2189 KachelY 6459 -1.46265068 -1.24712768 -83.803711 -71.455153
    Oben rechts KachelX + 1 2190 KachelY 6459 -1.46188369 -1.24712768 -83.759766 -71.455153
    Unten links KachelX 2189 KachelY + 1 6460 -1.46265068 -1.24737153 -83.803711 -71.469124
    Unten rechts KachelX + 1 2190 KachelY + 1 6460 -1.46188369 -1.24737153 -83.759766 -71.469124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24712768--1.24737153) × R
    0.000243849999999934 × 6371000     		dl = 1553.56834999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24712768--1.24737153) × R
    0.000243849999999934 × 6371000     		dr = 1553.56834999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46265068--1.46188369) × cos(-1.24712768) × R
    0.000766990000000023 × 0.318046845410199 × 6371000     		do = 1554.13377600265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46265068--1.46188369) × cos(-1.24737153) × R
    0.000766990000000023 × 0.317815647867951 × 6371000     		du = 1553.00403076379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24712768)-sin(-1.24737153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318046845410199-0.317815647867951)×R²
    abs(-1.46188369--1.46265068)×0.000231197542247319×R²
    0.000766990000000023×0.000231197542247319×6371000²
    0.000766990000000023×0.000231197542247319×40589641000000     		ar = 2413575.48980031m²