Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2189 / 6429
↖ ↑ ↗
← S 71.031249°
W 83.803711°		 ← 1 588.37 m → S 71.031249°
W 83.759766°		 →
↑
1 587.84 m
↓
↑
1 587.84 m
↓
S 71.045529°
W 83.803711°		 ← 1 587.21 m →
2 521 164 m²		 S 71.045529°
W 83.759766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26727294921875 y=0.78485107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26727294921875 × 213)
    floor (0.26727294921875 × 8192)
    floor (2189.5)     		tx = 2189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78485107421875 × 213)
    floor (0.78485107421875 × 8192)
    floor (6429.5)     		ty = 6429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2189 / 6429 ti = "13/2189/6429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2189/6429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2189 ÷ 213
    2189 ÷ 8192     		x = 0.2672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6429 ÷ 213
    6429 ÷ 8192     		y = 0.7847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.465576171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46265068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78938858901746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46265068} λ = -1.46265068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78938858901746))-π/2
    2×atan(0.167062282161592)-π/2
    2×0.165533575887146-π/2
    0.331067151774291-1.57079632675     		φ = -1.23972917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46265068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.803711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23972917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.031249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2189 KachelY 6429 -1.46265068 -1.23972917 -83.803711 -71.031249
    Oben rechts KachelX + 1 2190 KachelY 6429 -1.46188369 -1.23972917 -83.759766 -71.031249
    Unten links KachelX 2189 KachelY + 1 6430 -1.46265068 -1.23997840 -83.803711 -71.045529
    Unten rechts KachelX + 1 2190 KachelY + 1 6430 -1.46188369 -1.23997840 -83.759766 -71.045529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23972917--1.23997840) × R
    0.0002492300000001 × 6371000     		dl = 1587.84433000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23972917--1.23997840) × R
    0.0002492300000001 × 6371000     		dr = 1587.84433000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46265068--1.46188369) × cos(-1.23972917) × R
    0.000766990000000023 × 0.325052419204493 × 6371000     		do = 1588.36646534107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46265068--1.46188369) × cos(-1.23997840) × R
    0.000766990000000023 × 0.324816713297394 × 6371000     		du = 1587.21469000762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23972917)-sin(-1.23997840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325052419204493-0.324816713297394)×R²
    abs(-1.46188369--1.46265068)×0.000235705907098371×R²
    0.000766990000000023×0.000235705907098371×6371000²
    0.000766990000000023×0.000235705907098371×40589641000000     		ar = 2521164.27903914m²