Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21889 / 9344
↖ ↑ ↗
← N 82.261699°
W119.880066°		 ← 41.13 m → N 82.261699°
W119.877319°		 →
↑
41.09 m
↓
↑
41.09 m
↓
N 82.261329°
W119.880066°		 ← 41.13 m →
1 690 m²		 N 82.261329°
W119.877319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167003631591797 y=0.0712928771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167003631591797 × 217)
    floor (0.167003631591797 × 131072)
    floor (21889.5)     		tx = 21889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0712928771972656 × 217)
    floor (0.0712928771972656 × 131072)
    floor (9344.5)     		ty = 9344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21889 / 9344 ti = "17/21889/9344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21889/9344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21889 ÷ 217
    21889 ÷ 131072     		x = 0.166999816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9344 ÷ 217
    9344 ÷ 131072     		y = 0.0712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166999816894531 × 2 - 1) × π
    -0.666000366210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.09230186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0712890625 × 2 - 1) × π
    0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09230186} λ = -2.09230186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6936702634502))-π/2
    2×atan(14.7858443976166)-π/2
    2×1.50326690901295-π/2
    3.0065338180259-1.57079632675     		φ = 1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09230186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.880066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21889 KachelY 9344 -2.09230186 1.43573749 -119.880066 82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 21890 KachelY 9344 -2.09225392 1.43573749 -119.877319 82.261699
    Unten links KachelX 21889 KachelY + 1 9345 -2.09230186 1.43573104 -119.880066 82.261329
    Unten rechts KachelX + 1 21890 KachelY + 1 9345 -2.09225392 1.43573104 -119.877319 82.261329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43573749-1.43573104) × R
    6.44999999988016e-06 × 6371000     		dl = 41.0929499992365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43573749-1.43573104) × R
    6.44999999988016e-06 × 6371000     		dr = 41.0929499992365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09230186--2.09225392) × cos(1.43573749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 41.1251520311311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09230186--2.09225392) × cos(1.43573104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134655003492439 × 6371000     		du = 41.1271040863538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43573749)-sin(1.43573104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.134655003492439)×R²
    abs(-2.09225392--2.09230186)×6.39125969750798e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.39125969750798e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.39125969750798e-06×40589641000000     		ar = 1689.99392398559m²