Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21889 / 13695
↖ ↑ ↗
← N 80.474520°
W119.880066°		 ← 50.54 m → N 80.474520°
W119.877319°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
N 80.474065°
W119.880066°		 ← 50.55 m →
2 557 m²		 N 80.474065°
W119.877319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167003631591797 y=0.104488372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167003631591797 × 217)
    floor (0.167003631591797 × 131072)
    floor (21889.5)     		tx = 21889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104488372802734 × 217)
    floor (0.104488372802734 × 131072)
    floor (13695.5)     		ty = 13695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21889 / 13695 ti = "17/21889/13695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21889/13695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21889 ÷ 217
    21889 ÷ 131072     		x = 0.166999816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13695 ÷ 217
    13695 ÷ 131072     		y = 0.104484558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166999816894531 × 2 - 1) × π
    -0.666000366210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.09230186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104484558105469 × 2 - 1) × π
    0.791030883789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.48509681320333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09230186} λ = -2.09230186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48509681320333))-π/2
    2×atan(12.0022821779705)-π/2
    2×1.48767083109278-π/2
    2.97534166218556-1.57079632675     		φ = 1.40454534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09230186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.880066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40454534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.474520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21889 KachelY 13695 -2.09230186 1.40454534 -119.880066 80.474520
    Oben rechts KachelX + 1 21890 KachelY 13695 -2.09225392 1.40454534 -119.877319 80.474520
    Unten links KachelX 21889 KachelY + 1 13696 -2.09230186 1.40453740 -119.880066 80.474065
    Unten rechts KachelX + 1 21890 KachelY + 1 13696 -2.09225392 1.40453740 -119.877319 80.474065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40454534-1.40453740) × R
    7.9400000001506e-06 × 6371000     		dl = 50.5857400009595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40454534-1.40453740) × R
    7.9400000001506e-06 × 6371000     		dr = 50.5857400009595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09230186--2.09225392) × cos(1.40454534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165486198480601 × 6371000     		do = 50.5437446306913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09230186--2.09225392) × cos(1.40453740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165494028999507 × 6371000     		du = 50.5461362727226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40454534)-sin(1.40453740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165486198480601-0.165494028999507)×R²
    abs(-2.09225392--2.09230186)×7.83051890565489e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.83051890565489e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.83051890565489e-06×40589641000000     		ar = 2556.85321613028m²