Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21887 / 9345
↖ ↑ ↗
← N 82.261329°
W119.885559°		 ← 41.13 m → N 82.261329°
W119.882812°		 →
↑
41.16 m
↓
↑
41.16 m
↓
N 82.260959°
W119.885559°		 ← 41.13 m →
1 693 m²		 N 82.260959°
W119.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166988372802734 y=0.0713005065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166988372802734 × 217)
    floor (0.166988372802734 × 131072)
    floor (21887.5)     		tx = 21887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0713005065917969 × 217)
    floor (0.0713005065917969 × 131072)
    floor (9345.5)     		ty = 9345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21887 / 9345 ti = "17/21887/9345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21887/9345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21887 ÷ 217
    21887 ÷ 131072     		x = 0.166984558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9345 ÷ 217
    9345 ÷ 131072     		y = 0.0712966918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166984558105469 × 2 - 1) × π
    -0.666030883789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.09239773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0712966918945312 × 2 - 1) × π
    0.857406616210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.69362232655058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09239773} λ = -2.09239773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69362232655058))-π/2
    2×atan(14.7851356270662)-π/2
    2×1.50326368161782-π/2
    3.00652736323565-1.57079632675     		φ = 1.43573104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09239773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.885559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43573104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.261329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21887 KachelY 9345 -2.09239773 1.43573104 -119.885559 82.261329
    Oben rechts KachelX + 1 21888 KachelY 9345 -2.09234979 1.43573104 -119.882812 82.261329
    Unten links KachelX 21887 KachelY + 1 9346 -2.09239773 1.43572458 -119.885559 82.260959
    Unten rechts KachelX + 1 21888 KachelY + 1 9346 -2.09234979 1.43572458 -119.882812 82.260959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43573104-1.43572458) × R
    6.46000000004143e-06 × 6371000     		dl = 41.156660000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43573104-1.43572458) × R
    6.46000000004143e-06 × 6371000     		dr = 41.156660000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09239773--2.09234979) × cos(1.43573104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134655003492439 × 6371000     		do = 41.1271040863538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09239773--2.09234979) × cos(1.43572458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134661404655451 × 6371000     		du = 41.1290591663037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43573104)-sin(1.43572458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134655003492439-0.134661404655451)×R²
    abs(-2.09234979--2.09239773)×6.4011630124261e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.4011630124261e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.4011630124261e-06×40589641000000     		ar = 1692.69447195738m²