Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21879 / 14219
↖ ↑ ↗
← N 80.233377°
W119.907532°		 ← 51.81 m → N 80.233377°
W119.904785°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
N 80.232911°
W119.907532°		 ← 51.81 m →
2 684 m²		 N 80.232911°
W119.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166927337646484 y=0.108486175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166927337646484 × 217)
    floor (0.166927337646484 × 131072)
    floor (21879.5)     		tx = 21879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108486175537109 × 217)
    floor (0.108486175537109 × 131072)
    floor (14219.5)     		ty = 14219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21879 / 14219 ti = "17/21879/14219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21879/14219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21879 ÷ 217
    21879 ÷ 131072     		x = 0.166923522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14219 ÷ 217
    14219 ÷ 131072     		y = 0.108482360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166923522949219 × 2 - 1) × π
    -0.666152954101562 × 3.1415926535     		Λ = -2.09278123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108482360839844 × 2 - 1) × π
    0.783035278320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.45997787780242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09278123} λ = -2.09278123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45997787780242))-π/2
    2×atan(11.7045526066914)-π/2
    2×1.48556646082629-π/2
    2.97113292165258-1.57079632675     		φ = 1.40033659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09278123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.907532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40033659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.233377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21879 KachelY 14219 -2.09278123 1.40033659 -119.907532 80.233377
    Oben rechts KachelX + 1 21880 KachelY 14219 -2.09273329 1.40033659 -119.904785 80.233377
    Unten links KachelX 21879 KachelY + 1 14220 -2.09278123 1.40032846 -119.907532 80.232911
    Unten rechts KachelX + 1 21880 KachelY + 1 14220 -2.09273329 1.40032846 -119.904785 80.232911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40033659-1.40032846) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dl = 51.7962299992614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40033659-1.40032846) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dr = 51.7962299992614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09278123--2.09273329) × cos(1.40033659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169635440753858 × 6371000     		do = 51.8110300224393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09278123--2.09273329) × cos(1.40032846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169643452919214 × 6371000     		du = 51.8134771439721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40033659)-sin(1.40032846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169635440753858-0.169643452919214)×R²
    abs(-2.09273329--2.09278123)×8.01216535570304e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.01216535570304e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.01216535570304e-06×40589641000000     		ar = 2683.67940344613m²