Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21874 / 14226
↖ ↑ ↗
← N 80.230115°
W119.921265°		 ← 51.83 m → N 80.230115°
W119.918518°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
N 80.229649°
W119.921265°		 ← 51.83 m →
2 685 m²		 N 80.229649°
W119.918518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166889190673828 y=0.108539581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166889190673828 × 217)
    floor (0.166889190673828 × 131072)
    floor (21874.5)     		tx = 21874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108539581298828 × 217)
    floor (0.108539581298828 × 131072)
    floor (14226.5)     		ty = 14226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21874 / 14226 ti = "17/21874/14226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21874/14226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21874 ÷ 217
    21874 ÷ 131072     		x = 0.166885375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14226 ÷ 217
    14226 ÷ 131072     		y = 0.108535766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166885375976562 × 2 - 1) × π
    -0.666229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09302091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108535766601562 × 2 - 1) × π
    0.782928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45964231950508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09302091} λ = -2.09302091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45964231950508))-π/2
    2×atan(11.7006257058365)-π/2
    2×1.48553799483075-π/2
    2.97107598966151-1.57079632675     		φ = 1.40027966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09302091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.921265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40027966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.230115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21874 KachelY 14226 -2.09302091 1.40027966 -119.921265 80.230115
    Oben rechts KachelX + 1 21875 KachelY 14226 -2.09297297 1.40027966 -119.918518 80.230115
    Unten links KachelX 21874 KachelY + 1 14227 -2.09302091 1.40027153 -119.921265 80.229649
    Unten rechts KachelX + 1 21875 KachelY + 1 14227 -2.09297297 1.40027153 -119.918518 80.229649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40027966-1.40027153) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dl = 51.796230000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40027966-1.40027153) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dr = 51.796230000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09302091--2.09297297) × cos(1.40027966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169691545385804 × 6371000     		do = 51.8281658211687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09302091--2.09297297) × cos(1.40027153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169699557472631 × 6371000     		du = 51.8306129187167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40027966)-sin(1.40027153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169691545385804-0.169699557472631)×R²
    abs(-2.09297297--2.09302091)×8.0120868268807e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.0120868268807e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.0120868268807e-06×40589641000000     		ar = 2684.56697263069m²