Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21872 / 30000
↖ ↑ ↗
← N 69.364831°
W119.926758°		 ← 107.64 m → N 69.364831°
W119.924011°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 69.363864°
W119.926758°		 ← 107.64 m →
11 583 m²		 N 69.363864°
W119.924011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166873931884766 y=0.228885650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166873931884766 × 217)
    floor (0.166873931884766 × 131072)
    floor (21872.5)     		tx = 21872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228885650634766 × 217)
    floor (0.228885650634766 × 131072)
    floor (30000.5)     		ty = 30000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21872 / 30000 ti = "17/21872/30000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21872/30000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21872 ÷ 217
    21872 ÷ 131072     		x = 0.1668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30000 ÷ 217
    30000 ÷ 131072     		y = 0.2288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09311679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2288818359375 × 2 - 1) × π
    0.542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70348566489832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09311679} λ = -2.09311679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70348566489832))-π/2
    2×atan(5.49306103052335)-π/2
    2×1.3907205084744-π/2
    2.78144101694881-1.57079632675     		φ = 1.21064469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09311679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21064469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.364831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21872 KachelY 30000 -2.09311679 1.21064469 -119.926758 69.364831
    Oben rechts KachelX + 1 21873 KachelY 30000 -2.09306885 1.21064469 -119.924011 69.364831
    Unten links KachelX 21872 KachelY + 1 30001 -2.09311679 1.21062780 -119.926758 69.363864
    Unten rechts KachelX + 1 21873 KachelY + 1 30001 -2.09306885 1.21062780 -119.924011 69.363864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21064469-1.21062780) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dl = 107.606190001008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21064469-1.21062780) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dr = 107.606190001008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09311679--2.09306885) × cos(1.21064469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352416145619195 × 6371000     		do = 107.63696206362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09311679--2.09306885) × cos(1.21062780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352431951963872 × 6371000     		du = 107.64178972814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21064469)-sin(1.21062780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352416145619195-0.352431951963872)×R²
    abs(-2.09306885--2.09311679)×1.58063446767942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58063446767942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58063446767942e-05×40589641000000     		ar = 11582.6631344758m²