Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2187 / 6458
↖ ↑ ↗
← S 71.441171°
W 83.891601°		 ← 1 555.26 m → S 71.441171°
W 83.847656°		 →
↑
1 554.72 m
↓
↑
1 554.72 m
↓
S 71.455153°
W 83.891601°		 ← 1 554.13 m →
2 417 114 m²		 S 71.455153°
W 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26702880859375 y=0.78839111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26702880859375 × 213)
    floor (0.26702880859375 × 8192)
    floor (2187.5)     		tx = 2187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78839111328125 × 213)
    floor (0.78839111328125 × 8192)
    floor (6458.5)     		ty = 6458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2187 / 6458 ti = "13/2187/6458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2187/6458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2187 ÷ 213
    2187 ÷ 8192     		x = 0.2669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6458 ÷ 213
    6458 ÷ 8192     		y = 0.788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46418466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.57666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81163131044116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46418466} λ = -1.46418466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81163131044116))-π/2
    2×atan(0.163387383738284)-π/2
    2×0.161956336984497-π/2
    0.323912673968995-1.57079632675     		φ = -1.24688365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46418466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.891601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24688365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.441171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2187 KachelY 6458 -1.46418466 -1.24688365 -83.891601 -71.441171
    Oben rechts KachelX + 1 2188 KachelY 6458 -1.46341767 -1.24688365 -83.847656 -71.441171
    Unten links KachelX 2187 KachelY + 1 6459 -1.46418466 -1.24712768 -83.891601 -71.455153
    Unten rechts KachelX + 1 2188 KachelY + 1 6459 -1.46341767 -1.24712768 -83.847656 -71.455153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24688365--1.24712768) × R
    0.000244029999999951 × 6371000     		dl = 1554.71512999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24688365--1.24712768) × R
    0.000244029999999951 × 6371000     		dr = 1554.71512999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46418466--1.46341767) × cos(-1.24688365) × R
    0.000766990000000023 × 0.318278194680013 × 6371000     		do = 1555.26426265724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46418466--1.46341767) × cos(-1.24712768) × R
    0.000766990000000023 × 0.318046845410199 × 6371000     		du = 1554.13377600265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24688365)-sin(-1.24712768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318278194680013-0.318046845410199)×R²
    abs(-1.46341767--1.46418466)×0.000231349269813941×R²
    0.000766990000000023×0.000231349269813941×6371000²
    0.000766990000000023×0.000231349269813941×40589641000000     		ar = 2417114.09994196m²