Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21859 / 14227
↖ ↑ ↗
← N 80.229649°
W119.962463°		 ← 51.82 m → N 80.229649°
W119.959717°		 →
↑
51.86 m
↓
↑
51.86 m
↓
N 80.229182°
W119.962463°		 ← 51.82 m →
2 687 m²		 N 80.229182°
W119.959717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166774749755859 y=0.108547210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166774749755859 × 217)
    floor (0.166774749755859 × 131072)
    floor (21859.5)     		tx = 21859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108547210693359 × 217)
    floor (0.108547210693359 × 131072)
    floor (14227.5)     		ty = 14227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21859 / 14227 ti = "17/21859/14227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21859/14227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21859 ÷ 217
    21859 ÷ 131072     		x = 0.166770935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14227 ÷ 217
    14227 ÷ 131072     		y = 0.108543395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166770935058594 × 2 - 1) × π
    -0.666458129882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.09373996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108543395996094 × 2 - 1) × π
    0.782913208007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.45959438260546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09373996} λ = -2.09373996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45959438260546))-π/2
    2×atan(11.7000648275601)-π/2
    2×1.48553392749146-π/2
    2.97106785498292-1.57079632675     		φ = 1.40027153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09373996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.962463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40027153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.229649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21859 KachelY 14227 -2.09373996 1.40027153 -119.962463 80.229649
    Oben rechts KachelX + 1 21860 KachelY 14227 -2.09369203 1.40027153 -119.959717 80.229649
    Unten links KachelX 21859 KachelY + 1 14228 -2.09373996 1.40026339 -119.962463 80.229182
    Unten rechts KachelX + 1 21860 KachelY + 1 14228 -2.09369203 1.40026339 -119.959717 80.229182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40027153-1.40026339) × R
    8.13999999982329e-06 × 6371000     		dl = 51.8599399988742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40027153-1.40026339) × R
    8.13999999982329e-06 × 6371000     		dr = 51.8599399988742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09373996--2.09369203) × cos(1.40027153) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169699557472631 × 6371000     		do = 51.8198013599759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09373996--2.09369203) × cos(1.40026339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169707579403185 × 6371000     		du = 51.8222509529745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40027153)-sin(1.40026339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169699557472631-0.169707579403185)×R²
    abs(-2.09369203--2.09373996)×8.02193055460254e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.02193055460254e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.02193055460254e-06×40589641000000     		ar = 2687.43530721129m²