Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2185 / 1915
↖ ↑ ↗
← N 79.706833°
W131.989746°		 ← 436.58 m → N 79.706833°
W131.967773°		 →
↑
436.67 m
↓
↑
436.67 m
↓
N 79.702906°
W131.989746°		 ← 436.74 m →
190 675 m²		 N 79.702906°
W131.967773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133392333984375 y=0.116912841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133392333984375 × 214)
    floor (0.133392333984375 × 16384)
    floor (2185.5)     		tx = 2185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116912841796875 × 214)
    floor (0.116912841796875 × 16384)
    floor (1915.5)     		ty = 1915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2185 / 1915 ti = "14/2185/1915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2185/1915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2185 ÷ 214
    2185 ÷ 16384     		x = 0.13336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1915 ÷ 214
    1915 ÷ 16384     		y = 0.11688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.7332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30365565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11688232421875 × 2 - 1) × π
    0.7662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40719935132074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30365565} λ = -2.30365565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40719935132074))-π/2
    2×atan(11.1028224561069)-π/2
    2×1.48097150463012-π/2
    2.96194300926024-1.57079632675     		φ = 1.39114668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30365565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.989746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39114668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.706833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2185 KachelY 1915 -2.30365565 1.39114668 -131.989746 79.706833
    Oben rechts KachelX + 1 2186 KachelY 1915 -2.30327215 1.39114668 -131.967773 79.706833
    Unten links KachelX 2185 KachelY + 1 1916 -2.30365565 1.39107814 -131.989746 79.702906
    Unten rechts KachelX + 1 2186 KachelY + 1 1916 -2.30327215 1.39107814 -131.967773 79.702906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39114668-1.39107814) × R
    6.85400000000058e-05 × 6371000     		dl = 436.668340000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39114668-1.39107814) × R
    6.85400000000058e-05 × 6371000     		dr = 436.668340000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30365565--2.30327215) × cos(1.39114668) × R
    0.00038349999999987 × 0.178684869654082 × 6371000     		do = 436.576900300974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30365565--2.30327215) × cos(1.39107814) × R
    0.00038349999999987 × 0.178752306175962 × 6371000     		du = 436.741666504998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39114668)-sin(1.39107814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178684869654082-0.178752306175962)×R²
    abs(-2.30327215--2.30365565)×6.743652187996e-05×R²
    0.00038349999999987×6.743652187996e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.743652187996e-05×40589641000000     		ar = 190675.284505525m²